Question

4．已知二次函數(shù)y=x²+bx+c（b，c為常數(shù)）．
（1）當(dāng)b=2，c=-3時(shí)，求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)c=10時(shí)，若在函數(shù)值y=1的情況下，只有一個(gè)自變量x的值與其對(duì)應(yīng)，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式；
（3）當(dāng)c=b²時(shí)，若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）把b=2，c=-3代入函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的最小值；
（2）根據(jù)當(dāng)c=10時(shí)，若在函數(shù)值y=l的情況下，只有一個(gè)自變量x的值與其對(duì)應(yīng)，得到x²+bx+5=1有兩個(gè)相等是實(shí)數(shù)根，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式；
（3）當(dāng)c=b²時(shí)，寫出解析式，分三種情況進(jìn)行討論即可．

解答 解：（1）當(dāng)b=2，c=-3時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
故當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)取得最小值-4；
（2）當(dāng)c=10時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y=x²+bx+10，
由題意得，x²+bx+10=1有兩個(gè)相等是實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-36=0，
解得b₁=6，b₂=-6，
∴二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x²+6x+10，y=x²-6x+10；
（3）當(dāng)c=b²時(shí)，二次函數(shù)解析式為y═x²+bx+b²，
圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{2}$，
①當(dāng)-$\frac{2}$＜b，即b＞0時(shí)，
在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=b時(shí)，y=b²+b•b+b²=3b²為最小值，
∴3b²=21，解得b₁=-$\sqrt{7}$（舍去），b₂=$\sqrt{7}$；
②當(dāng)b≤-$\frac{2}$≤b+3時(shí)，即-2≤b≤0，
∴x=-$\frac{2}$，y=$\frac{3}{4}$b²為最小值，
∴$\frac{3}{4}$b²=21，解得b₁=-2$\sqrt{7}$（舍去），b₂=2$\sqrt{7}$（舍去）；
③當(dāng)-$\frac{2}$＞b+3，即b＜-2，
在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，y隨x的增大而減小，
故當(dāng)x=b+3時(shí)，y=（b+3）²+b（b+3）+b²=3b²+9b+9為最小值，
∴3b²+9b+9=21．解得b₁=1（舍去），b₂=-4；
∴b=$\sqrt{7}$時(shí)，解析式為：y=x²+$\sqrt{7}$x+7
b=-4時(shí)，解析式為：y=x²-4x+16．
綜上可得，此時(shí)二次函數(shù)的解析式為y=x²+$\sqrt{7}$x+7或y=x²-4x+16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的最值：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=-$\frac{2a}$時(shí)，y=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=-$\frac{2a}$時(shí)，y=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$；確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．