Question

12．若兩條拋物線的頂點(diǎn)相同，則稱(chēng)它們?yōu)椤坝押脪佄锞�”，拋物線C₁：y₁=-2x²+4x+2與C₂：y₂=-x²+mx+n為“友好拋物線”．
（1）求拋物線C₂的解析式．
（2）點(diǎn)A是拋物線C₂上在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作AQ⊥x軸，Q為垂足，求AQ+OQ的最大值．
（3）設(shè)拋物線C₂的頂點(diǎn)為C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，4），問(wèn)在C₂的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M，使線段MB繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MB′，且點(diǎn)B′恰好落在拋物線C₂上？若存在求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得y₁頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后依據(jù)兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)相同可求得m、n的值；
（2）設(shè)A（a，-a²+2a+3）．則OQ=x，AQ=-a²+2a+3，然后得到OQ+AQ與a的函數(shù)關(guān)系式，最后依據(jù)配方法可求得OQ+AQ的最值；
（3）連接BC，過(guò)點(diǎn)B′作B′D⊥CM，垂足為D．接下來(lái)證明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的性質(zhì)得到BC=MD，CM=B′D，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，a）．則用含a的式子可表示出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，將點(diǎn)B′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a的值，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵y₁=-2x²+4x+2=-2（x-1）²+4，
∴拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）．
∵拋物線C₁與C₂頂點(diǎn)相同，
∴$\frac{-m}{-1×2}$=1，-1+m+n=4．
解得：m=2，n=3．
∴拋物線C₂的解析式為y₂=-x²+2x+3．
（2）如圖1所示：

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，-a²+2a+3）．
∵AQ=-a²+2a+3，OQ=a，
∴AQ+OQ=-a²+2a+3+a=-a²+3a+3=-（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{4}$．
∴當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時(shí)，AQ+OQ有最大值，最大值為$\frac{21}{4}$．
（3）如圖2所示；連接BC，過(guò)點(diǎn)B′作B′D⊥CM，垂足為D．

∵B（-1，4），C（1，4），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
∴BC⊥CM，BC=2．
∵∠BMB′=90°，
∴∠BMC+∠B′MD=90°．
∵B′D⊥MC，
∴∠MB′D+∠B′MD=90°．
∴∠MB′D=∠BMC．
在△BCM和△MDB′中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MB′D=∠BMC}\\{∠BCM=∠MDB′}\\{BM=MB′}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△MDB′．
∴BC=MD，CM=B′D．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，a）．則B′D=CM=4-a，MD=CB=2．
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（a-3，a-2）．
∴-（a-3）²+2（a-3）+3=a-2．
整理得：a²-7a+10=0．
解得a=2，或a=5．
當(dāng)a=2時(shí)，M的坐標(biāo)為（1，2），
當(dāng)a=5時(shí)，M的坐標(biāo)為（1，5）．
綜上所述當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）或（1，5）時(shí)，B′恰好落在拋物線C₂上．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，用含a的式子表示點(diǎn)B′的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．