Question

3．已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P．
（1）求證：AP=BQ；
（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對線段，使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根據(jù)已知條件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出結(jié)論；（2）根據(jù)AQ-AP=PQ和全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行判斷分析．

解答 解：（1）∵正方形ABCD
∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°
∵DP⊥AQ
∴∠ADP+∠DAP=90°
∴∠BAQ=∠ADP
∵AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P
∴∠AQB=∠DPA=90°
∴△AQB≌△DPA（AAS）
∴AP=BQ
（2）①AQ-AP=PQ
②AQ-BQ=PQ
③DP-AP=PQ
④DP-BQ=PQ

點評 本題主要考查了正方形以及全等三角形，解決問題的關(guān)鍵是掌握：正方形的四條邊相等，四個角都是直角．解題時需要運用：有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，以及全等三角形的對應(yīng)邊相等．