Question

1．如圖，已知拋物線y=x²+bx與直線y=2x+4交于A（a，8）、B兩點，點P是拋物線上A、B之間的一個動點，過點P分別作x軸、y軸的平行線與直線AB交于點C和點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若C為AB中點，求PC的長；
（3）如圖，以PC，PE為邊構(gòu)造矩形PCDE，設(shè)點D的坐標為（m，n），請求出m，n之間的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）把A點坐標代入直線方程可求得a的值，再代入拋物線可求得b的值，可求得拋物線解析式；
（2）聯(lián)立拋物線和直線解析式可求得B點坐標，過A作AQ⊥x軸，交x軸于點Q，可知OC=$\frac{1}{2}$AQ=4，可求得C點坐標，結(jié)合條件可知P點縱坐標，代入拋物線解析式可求得P點坐標，從而可求得PC的長；
（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)可分別用m、n表示出C、P的坐標，根據(jù)DE=CP，可得到m、n的關(guān)系式．

解答 解：
（1）∵A（a，8）是拋物線和直線的交點，
∴A點在直線上，
∴8=2a+4，解得a=2，
∴A點坐標為（2，8），
又A點在拋物線上，
∴8=2²+2b，解得b=2，
∴拋物線解析式為y=x²+2x；
（2）聯(lián)立拋物線和直線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=8}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
∴B點坐標為（-2，0），
如圖，過A作AQ⊥x軸，交x軸于點Q，

則AQ=8，OQ=OB=2，即O為BQ的中點，
當C為AB中點時，則OC為△ABQ的中位線，即C點在y軸上，
∴OC=$\frac{1}{2}$AQ=4，
∴C點坐標為（0，4），
又PC∥x軸，
∴P點縱坐標為4，
∵P點在拋物線上，
∴4=x²+2x，解得x=-1-$\sqrt{5}$或x=$\sqrt{5}$-1，
∵P點在A、B之間的拋物線上，
∴x=-1-$\sqrt{5}$不合題意，舍去，
∴P點坐標為（$\sqrt{5}$-1，4），
∴PC=$\sqrt{5}$-1-0=$\sqrt{5}$-1；
（3）∵D（m，n），且四邊形PCDE為矩形，
∴C點橫坐標為m，E點縱坐標為n，
∵C、E都在直線y=2x+4上，
∴C（m，2m+4），E（$\frac{n-4}{2}$，n），
∵PC∥x軸，
∴P點縱坐標為2m+4，
∵P點在拋物線上，
∴2m+4=x²+2x，整理可得2m+5=（x+1）²，解得x=$\sqrt{2m+5}$-1或x=-$\sqrt{2m+5}$-1（舍去），
∴P點坐標為（$\sqrt{2m+5}$-1，2m+4），
∴DE=$\frac{n-4}{2}$-m，CP=$\sqrt{2m+5}$-1-m，
∵四邊形PCDE為矩形，
∴DE=CP，即$\frac{n-4}{2}$-m=$\sqrt{2m+5}$-1-m，
整理可得n²-4n-8m-16=0，
即m、n之間的關(guān)系式為n²-4n-8m-16=0．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點有圖象的交點、待定系數(shù)法、三角形中位線定理、矩形的性質(zhì)等．在（1）中注意交點坐標的應(yīng)用，在（2）中求出C點坐標是解題的關(guān)鍵，在（3）中用m、n表示出P點的坐標是解題的關(guān)鍵．本題知識點較多，計算量較大，難度適中．