Question

19．如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上的一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥EC交邊AB于點(diǎn)F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，且EF=EC．
（1）求證：CD=AE；
（2）若DE=6，矩形ABCD的周長(zhǎng)為48，求CG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出∠A=∠D=90°，再根據(jù)角的互余關(guān)系證出∠AFE=∠DEC，根據(jù)AAS證明△AEF≌△DCE，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2）設(shè)CD=AE=x，則AD=x+6，根據(jù)矩形的周長(zhǎng)列出方程，解方程求出AE、CD，得出BF、BC，再證明△AEF∽△BGF，得出比例式求出BG，即可得出CG．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
在△AEF和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}&{\;}\\{∠AFE=∠DEC}&{\;}\\{EF=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴CD=AE，DE=AF；
（2）解：設(shè)CD=AE=x，則AD=x+6，
∵矩形ABCD的周長(zhǎng)為48，
∴2（x+6+x）=48，
解得：x=9，
∴AE=CD=9，AB=CD=9，AD=BC=15，
∴BF=AB-AF=3，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△BGF，
∴$\frac{AE}{BG}=\frac{AF}{BF}$，
即$\frac{9}{BG}=\frac{6}{3}$，
∴BG=4.5，
∴CG=BC+BG=15+4.5=19.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．