Question

11．已知：二次函數(shù)y=ax²+bx+6（a≠0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），點A、點B的橫坐標是一元二次方程x²-4x-12=0的兩個根．
（1）請直接寫出點A、B的坐標，并求出該二次函數(shù)的解析式．
（2）如圖1，在二次函數(shù)對稱軸上是否存在點P，使△APC的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，連接AC、BC，點Q是線段OB上一個動點（點Q不與點O、B重合）．過點Q作QD∥AC交BC于點D，設(shè)Q點坐標（m，0），當△CDQ面積S最大時，求m的值．

Answer 1

分析 （1）解一元二次方程求出兩個根，然后寫出A、B的坐標，再將點A、B代入拋物線求出a、b，即可得解；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出點C的坐標以及對稱軸，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，直線BC與對稱軸的交點即為所求的點P，然后求解即可；
（3）表示出BQ，然后求出△ABC和△QBD相似，再根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方求出△BDQ的面積，然后根據(jù)S_△CDQ=S_△BCO-S_△BDQ列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解．

解答 解：（1）因式分解得，（x+2）（x-6）=0，
所以，x+2=0，x-6=0，
解得x₁=-2，x₂=6，
所以A（-2，0），B（6，0），
將點A、B的坐標代入得，$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+6=0}\\{36a+6b+6=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以，二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6；

（2）令x=0，則y=6，
所以，點C（0，6），
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+8，
∴對稱軸為直線x=2，
由軸對稱確定最短路線問題，直線BC與對稱軸的交點即為所求的點P，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
所以，直線BC的解析式為y=-x+6，
x=2時，y=-2+6=4，
所以，存在點P（2，4），使△APC的周長最小；

（3）∵點Q（m，0）是線段OB上一個動點，B（6，0），
∴BQ=6-m，
∵A（-2，0），（6，0），C（0，6），
∴AB=6-（-2）=8，OC=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×8×6=24，
∵QD∥AC，
∴△ABC∽△QBD，
∴$\frac{{S}_{△QBD}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{6-m}{8}$）²，
∴S_△QBD=$\frac{（6-m）^{2}}{64}$×24=$\frac{3}{8}$（6-m）²，
∴S_△CDQ=S_△BCO-S_△BDQ-S_△COQ，
=$\frac{1}{2}$×6×6-$\frac{3}{8}$（6-m）²-3m，
=-$\frac{3}{8}$（2-m）²+6，
所以，當m=6時，△CDQ面積S最大，最大值為18．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了一元二次方程的解法，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，軸對稱確定最短路線問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，綜合題但難度不大，難點在于（3）考慮利用相似三角形求解并表示出△CDQ的面積．