Question

9．如圖，函數(shù)y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$的圖象與函數(shù)y₂=k₂x+b的圖象交于A，B兩點(diǎn)，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）．
（1）當(dāng)k₁的值；
（2）當(dāng)x＜1時(shí)，觀察圖象，比較y₁與y₂的大��；
（3）分別連接OA，OB，當(dāng)∠1=∠2時(shí)，求y₂關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可求出k₁的值；
（2）根據(jù)圖象和A的坐標(biāo)即可得出答案；
（3）作AC⊥y軸于C，BD⊥x軸于D，根據(jù)題意求得B的坐標(biāo)為（4，1），然后把A、B的坐標(biāo)代入y₂=k₂x+b，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式．

解答 解：（1）∵函數(shù)y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$的圖象過A（1，4），
∴將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得：4=$\frac{{k}_{1}}{1}$，
解得k₁=4；

（2）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，雙曲線在直線的上方，即y₁＞y₂；
當(dāng)x＜0時(shí)，雙曲線在直線的下方，即y₁＜y₂；

（3）作AC⊥y軸于C，BD⊥x軸于D，
∵函數(shù)y₁=$\frac{4}{x}$的圖象經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，
∴S_△OAC=S_△BOD=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵∠OCA=∠ODB=90°，∠1=∠2，
∴△OAC∽△OBD，
∴$\frac{OC}{OD}$=$\frac{AC}{BD}$=1，
∴B（4，1），
把A（1，4）、B（4，1）代入y₂=k₂x+b得
$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}+b=4}\\{4{k}_{2}+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴y₂關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y₂=-x+5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題以及反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．