Question

3．定義：如果一個點能與另外兩個點構(gòu)成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．例如：在矩形OBCD中，點C是O、B兩點的一個勾股點（如圖1所示）．
問題（1）：如圖1，在矩形OBCD中，OD=4，DC邊上取一點E，DE=8．若點E是O、B兩點的勾股點（點E不與點C重合），求OB的長；
問題（2）：如圖2，在矩形OBCD中，OD=4，OB=12，在OB邊上取一點F，使OF=5，DC邊上取一點E，使DE=8．點P為DC邊上一動點，過點P作直線PQ∥OD交OB邊于點Q．設(shè)DP=t（t＞0）．
①當(dāng)點P在線段DE之間時，以EF為直徑的圓與直線PQ相切，求t的值；
②若直PQ上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點時，請直接寫出求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）連接OE、BE．設(shè)OB=x，則EC=x-8．先依據(jù)勾股定理表示出OE²、BE²的值，再依據(jù)勾股定理的逆定理列方程求解即可；
（2）①過點F作FG⊥DC，垂足為G，過點O作ON∥DE．在△EFG中依據(jù)勾股定理求得EF的長，從而可求得OH的長，由梯形的中位線定理可求得ON的長，然后依據(jù)NH=NO-OH可求得NH的長，從而求得t的值；
②當(dāng)直線PQ與圓O相離或直線PQ經(jīng)過點E或直線PQ經(jīng)過點F時，PQ上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點．

解答 （1）如圖1所示，連接OE、BE．

設(shè)OB=x，則EC=x-8．
在△DOE中，OE²=DE²+OD²=4²+8²=80，BE²=CE²+CB²=4²+（x-8）²．
∵E為點O和點B的勾股定理點，
∴OB²=OE²+BE²，即4²+（x-8）²+80=x²．
解得：x=10．
∴OB=10．
（2）①過點F作FG⊥DC，垂足為G，過點O作ON∥DE．

∵DE=8，OF=5，DO=4，
∴GE=3，F(xiàn)G=4，ON=6.5．
∴EF=$\sqrt{G{E}^{2}+F{G}^{2}}$=5．
∴OH=2.5．
∴HN=NO-OH=6.5-2.5=4．
∴t=4．
②如圖3所示：當(dāng)直線PQ與圓O相離時．過點E作EG⊥EF交PQ于點G，過點F作HF⊥EF，垂足為H．

∵∠GEF=90°，
∴△GEF為直角三角形．
∴G是E、F的一個公共點．
同理點H也是E、F的一個公共點．
∴當(dāng)直線PQ與圓O相離時，PQ上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點．
∴當(dāng)0＜t＜4時，PQ上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點．
同理：當(dāng)PQ在圓O的右側(cè)，PQ上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點．
∴9＜t≤12．
如圖4所示：當(dāng)PF經(jīng)過點F時，PQ上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點．

∵OF=5，
∴t=5．
如圖5所示：當(dāng)PF經(jīng)過點E時，PQ上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點．

∵DE=8，
∴t=8．
綜上所述當(dāng)0＜t＜4或t=5或t=8或9＜t≤12時，PQ上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點．

點評 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直線和圓的位置關(guān)系，找出PQ上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點的條件是解題的關(guān)鍵．