Question

15．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=6，AB=8，BC=10，直線EF從AD出發(fā)，始終保持與AD平行，并以每秒1個(gè)單位的速度向BC移動(dòng)，交AB于E，交CD于F，同時(shí)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB方向以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B移動(dòng)．當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)，同時(shí)直線EF也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，連接PF、PE，△PEF的面積為S．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PE∥CD？
（2）試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）是否存在某一時(shí)刻，使△PEF的面積是梯形ABCD面積的$\frac{3}{4}$？若存在，求出t的值；不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）作DH⊥BC于H，交EF于G，如圖，先根據(jù)矩形的性質(zhì)得DG=AE=t，EG=BH=AD=6，DH=AB=8，則CH=BC-BH=4，再證明△DGF∽△DHC，利用相似比得到GF=$\frac{1}{2}$t，則EF=6+$\frac{1}{2}$t，根據(jù)平行四邊形的判定，由于EF∥PC，則當(dāng)EF=PC時(shí)，四邊形EPCF為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)有PE∥CD，所以得到6+$\frac{1}{2}$t=2t，然后解方程求出t的值；
（2）由（1）得到EF=6+$\frac{1}{2}$t，BE=8-t，然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（3）當(dāng)△PEF的面積是梯形面積的$\frac{3}{4}$時(shí)，根據(jù)（2）的結(jié)論得到-$\frac{1}{4}$t²-t+24=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×（6+10）×8，然后含t一元二次方程的△＜0，即可判定不存在某一時(shí)刻，使△PEF的面積是梯形ABCD面積的$\frac{3}{4}$．

解答 解：（1）作DH⊥BC于H，交EF于G，如圖，則DG=AE=t，EG=BH=AD=6，DH=AB=8，
所以CH=BC-BH=4，
∵GF∥BC，
∴△DGF∽△DHC，
∴$\frac{GF}{HC}$=$\frac{DG}{DH}$，即$\frac{GF}{4}$=$\frac{t}{8}$，
∴GF=$\frac{1}{2}$t，
∴EF=EG+GF=6+$\frac{1}{2}$t，
∵EF∥PC，
∴當(dāng)EF=PC時(shí)，四邊形EPCF為平行四邊形，則有PE∥CD，
即6+$\frac{1}{2}$t=2t，解得t=4，
即當(dāng)t=4時(shí)，使PE∥CD；
（2）∵EF=6+$\frac{1}{2}$t，BE=8-t，
∴S=$\frac{1}{2}$•（6+$\frac{1}{2}$t）（8-t）
=-$\frac{1}{4}$t²-t+24（0≤t≤5）；
（3）不存在．
當(dāng)△PEF的面積是梯形面積的$\frac{3}{4}$時(shí)，則-$\frac{1}{4}$t²-t+24=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×（6+10）×8，
整理得t²+4t+96=0，
因?yàn)椤?4²-4×1×96＜0
所以不存在某一時(shí)刻，使△PEF的面積是梯形ABCD面積的$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握梯形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用相似比和三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算．