Question

12．如圖，∠MAN=60°，點(diǎn)B在射線AM上，AB=4，點(diǎn)P為直線AN上一動(dòng)點(diǎn)，以BP為邊作等邊三角形BPQ（點(diǎn)B，P，Q按順時(shí)針排列），點(diǎn)O是△BPQ的外心．
（1）如圖1，當(dāng)OB⊥AM時(shí)，點(diǎn)O在∠MAN的平分線上（填“在”或“不在”）；
（2）求證：當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有點(diǎn)O在∠MAN的平分線上；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合）時(shí)，AO與BP交于點(diǎn)C，設(shè)AP=m，用m表示AC•AO；
（4）若點(diǎn)D在射線AN上，AD=2，圓I為△ABD的內(nèi)切圓．當(dāng)△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離．

Answer 1

分析 （1）先求得∠BOP=120°，在四邊形ABOP中依據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°可求得∠APO的度數(shù)，然后依據(jù)角平分線的逆定理證明即可；
（2）連接OB、OP、OA，由∠A=60°，∠BOP=120°，可證明A、B、O、P四點(diǎn)共圓，然后依據(jù)同圓和等圓中相等的弦所對(duì)的圓周角相等可得到∠BAO=∠PAO；
（3）連接OB、OP、AO．先證明△ABO∽△ACP，由相似三角形的性質(zhì)可知AC•AO=AB•PA，從而可求得答案；
（4）如圖4所示：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)．先證明三角形AOB為直角三角形，然后依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AO的長；如圖5所示：當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時(shí)．先證明△AOD為直角三角形，然后依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AO的長；如圖6所示：證明∠OBD=∠ABD=30°，從而得到點(diǎn)A與點(diǎn)O重合．

解答 解：（1）在．
理由：如圖1所示：連接OP．

∵點(diǎn)O為等邊△BQP的外心，
∴∠BOP=2∠BQP=120°，OB=OP．
∵OB⊥AM，
∴∠ABO=90°．
∵∠A+∠ABO+∠BOP+∠OPA=180°，
∴∠OPA=90°．
∴OP⊥AN．
∵OP=OB，OP⊥AN，OB⊥AM，
∴點(diǎn)O在∠MAN的平分線上．
（2）當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)P不重合時(shí)，如圖2所示：連接OB、OP、OA．

∵點(diǎn)O是等邊三角形BOQ的外心，
∴∠BOP=120°，OP=OB．
∵∠BAP=60°，
∴∠BAP+∠BOP=180°．
∴點(diǎn)A、B、O、P共圓．
又∵OB=OP，
∴∠BAO=∠PAO．
∴點(diǎn)O在MAN的角平分線上．
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)．
∵點(diǎn)O是等邊三角形BOQ的外心，
∴PO平分∠BPQ．
∵∠BPQ與∠MAN重合，
∴∠PO平分∠MAN．
綜上所示，總有點(diǎn)O在∠MAN的平分線．
（3）如圖3所示：連接OB、OP、AO．

∵由（2）可知點(diǎn)B、O、P、A共圓，
∴∠BOA=∠BPA．
∵AO平分∠MAN，
∴∠BAO=∠PAO．
∴△ABO∽△ACP．
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AO}{AP}$．
∴AC•AO=AB•PA．
∴AC•AO=4m．
（4）如圖4所示：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)．

∵∠BAP=60°，BA=4，AD=2，
∴BP⊥AP．
∴∠BPA=90°．
又∵∠PAC=$\frac{1}{2}$∠MAN=30°，
∴∠OCB=∠ACP=60°．
∵O為等邊三角形的外心，
∴∠OBC=30°．
∴∠BOC=90°．
在Rt△AOB中，OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$．
如圖5所示：當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時(shí)．

∵∠BAD=60°，BA=4，AD=2，
∴BD⊥AQ．
∴∠BDA=90°．
∵在Rt△AOD中，∠DAO=30°，AD=2，
∴AO=AD÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
如圖6所示：

∵∠BAD=60°，BA=4，AD=2，
∴BD⊥AN．
∴∠BDA=90°．
∴∠ABD=30°
∵O為△BPQ的外心，
∴∠OBD=30°．
∴點(diǎn)A與點(diǎn)O重合．
∴OA=0．
綜上所述，OA=2$\sqrt{3}$或OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或AO=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了相似三角形的性質(zhì)和判定、四點(diǎn)共圓、角平分線的判定定理、三角形的外心的性質(zhì)、圓周角定理的，畫出符合題意的圖形，并恰當(dāng)作出輔助線是解題的關(guān)鍵．