Question

8．如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．
（1）求證：∠APB=∠BPH；
（2）當(dāng)點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是8；
（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先證明△ABP≌△QBP，進(jìn)而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，進(jìn)而利用在Rt△APE中，（4-BE）²+x²=BE²，利用二次函數(shù)的最值求出即可．

解答 （1）證明：∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．

（2）解：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q．
由（1）知∠APB=∠BPH，
在△ABP和△QBP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠BPH}&{\;}\\{∠A=∠BQP}&{\;}\\{BP=BP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△QBP（AAS）．
∴AP=QP，AB=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH．
∴CH=QH．
∴△PHD的周長=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；
故答案為：8．

（3）解：如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB．
又∵EF為折痕，
∴EF⊥BP．
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，
∴∠EFM=∠ABP．
又∵∠A=∠EMF=90°，
∴△EFM≌△PBA（ASA）．
∴EM=AP=x．
∴在Rt△APE中，（4-BE）²+x²=BE²．
解得，NE=2+$\frac{{x}^{2}}{8}$．
∴CF=BE+EM=2+$\frac{{x}^{2}}{8}$-x．
又∵折疊的性質(zhì)得出四邊形EFGP與四邊形BEFC全等，
∴S=$\frac{1}{2}$（BE+CF）•BC=$\frac{1}{2}$（4+$\frac{{x}^{2}}{4}$-x）×4，
即：S=$\frac{1}{2}$x²-2x+8．
配方得，S=$\frac{1}{2}$（x-2）²+6，
∴當(dāng)x=2時，S有最小值6．

點評 此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理、二次函數(shù)的最值問題等知識，熟練利用全等三角形的判定得出對應(yīng)相等關(guān)系是解題關(guān)鍵．