Question

19．如圖，△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c（b＜c＜a），BC的垂直平分線DG交∠BAC的角平分線AD于點D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則下列結論一定成立的是（　�。�

• A． DG=$\frac{1}{2}$（a+b）
• B． CF=c-b
• C． BE=$\frac{1}{2}$（a-b）
• D． AE=$\frac{1}{2}$（b+c）

Answer 1

分析 如圖，連接DB、DC．只要證明△DEB≌△DFC，推出BE=CF，由△ADE≌△ADF，推出AE=AF，推出AB+AC=（AE+BE）+（AF-CF）=2AE，即AE=$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

解答 解：如圖，連接DB、DC．

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
∵DG垂直平分線段BC，
∴DB=DC，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△DFC，
∴BE=CF，
同理△ADE≌△ADF，
∴AE=AF，
∴AB+AC=（AE+BE）+（AF-CF）=2AE，
∴AE=$\frac{1}{2}$（AB+AC）=$\frac{1}{2}$（b+c），
故選D．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、角平分線的性質定理、線段的垂直平分線的性質定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．