Question

13．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，sinB=$\frac{3}{5}$，
（1）求邊BC的長(zhǎng)；
（2）將△ABC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得△A′B′C，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′．如果點(diǎn)A′在BC邊上，那么點(diǎn)B和點(diǎn)B′之間的距離等于多少？

Answer 1

分析 （1）AD⊥BC于點(diǎn)D，由等腰三角形的性質(zhì)可得BC=2BD，在Rt△ABD中根據(jù)AD=ABsinB得出AD，再根據(jù)勾股定理即可得BD，從而得出答案；
（2）B′E⊥BC于點(diǎn)E，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得B′C=BC=16，∠ABC=∠ACB=∠A′CB′，在Rt△B′CE中求出B′E、CE的長(zhǎng)，由BC=16可得BE的長(zhǎng)，繼而根據(jù)勾股定理可得答案．

解答 解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，

∵AB=AC=10，
∴BC=2BD，
在Rt△ABD中，∵sinB=$\frac{AD}{AB}$，
∴AD=ABsinB=10×$\frac{3}{5}$=6，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=8，
則BC=2BD=16；

（2）過點(diǎn)B′作B′E⊥BC于點(diǎn)E，
根據(jù)題意知B′C=BC=16，∠ABC=∠ACB=∠A′CB′，
∴sin∠BCB′=sinB=$\frac{3}{5}$，
∴B′E=B′Csin∠BCB′=16×$\frac{3}{5}$=$\frac{48}{5}$，
∴CE=$\sqrt{B′{C}^{2}-B′{E}^{2}}$=$\frac{64}{5}$，
又∵BC=16，
∴BE=BC-CE=16-$\frac{64}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∴BB′=$\sqrt{B{E}^{2}+B′{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{16}{5}）^{2}+（\frac{48}{5}）^{2}}$=$\frac{16\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵是解Rt△B′CE，利用勾股定理計(jì)算BB′的長(zhǎng)．