Question

18．已知關(guān)于x的方程 x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0．若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)a=4，另兩邊邊長(zhǎng)b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則△ABC的周長(zhǎng)為10．

Answer 1

分析 分a為腰長(zhǎng)以及底邊長(zhǎng)兩種情況考慮．①等a為腰長(zhǎng)時(shí)，將x=4代入原方程可求出k值，將k值代入原方程解方程可得出底邊長(zhǎng)，再利用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證后可得出結(jié)論；②當(dāng)a為底邊長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)根的判別式△=0即可求出k值，將k值代入原方程解方程可得出腰長(zhǎng)，再利用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證后即可得出結(jié)論．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：①當(dāng)a為腰長(zhǎng)時(shí)，將x=4代入x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0中得：10-4k=0，
解得：k=$\frac{5}{2}$，
∴原方程為x²-6x+8=0，
解得：x₁=4，x₂=2，
∵4，4，2滿足任意兩邊之和大于第三邊，
∴C=4+4+2=10；
②當(dāng)a為底邊長(zhǎng)時(shí)，方程 x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=[-（2k+1）]²-4×1×4（k-$\frac{1}{2}$）=4k²-12k+9=0，
解得：k=$\frac{3}{2}$．
當(dāng)k=$\frac{3}{2}$時(shí)，原方程為x²-4x+4=0，
解得：x=2，
∵2，2，4不滿足任意兩邊之和大于第三邊，
∴a為底邊長(zhǎng)不符合題意．
綜上可知：△ABC的周長(zhǎng)為10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式、三角形三邊關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)，分a為腰長(zhǎng)以及底邊長(zhǎng)兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵．