Question

2．如圖，拋物線y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸，且∠CAB=30°．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若直線L：y=$\sqrt{3}$x+m從點(diǎn)C開始沿y軸向下平移，分別交x軸、y軸于點(diǎn)D、E．
?①當(dāng)m＞0時(shí)，在線段AC上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P、D、E構(gòu)成等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
②以動(dòng)直線L為對(duì)稱軸，線段AC關(guān)于直線L的對(duì)稱線段A′C′與二次函數(shù)圖象有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連結(jié)AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，根據(jù)三角函數(shù)可得C（0，$\sqrt{3}$），根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線解析式；
（2）①由題意可知，OE=m，OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，∠DEO=30°，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)分三種情況：
（i）如圖2，當(dāng)PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x軸；
（ii）如圖3，當(dāng)PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y軸；（iii）如圖4，當(dāng)DP⊥DE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC；進(jìn)行討論可求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②動(dòng)直線l與直線AC的交點(diǎn)為C和動(dòng)直線l與y軸的交點(diǎn)在x軸下面，并且與前面的直線平行，可求m的取值范圍．

解答 解：（1）如圖1，連結(jié)AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，
∵A（-3，0），即OA=3，
∴OC=$\sqrt{3}$，即C（0，$\sqrt{3}$），
設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+$\sqrt{3}$，
將A（-3，0），B（1，0）代入得 $\left\{\begin{array}{l}{a+b+\sqrt{3}=0}\\{9a-3b+c=0}\end{array}\right.$．
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；

（2）由題意可知，OE=m，OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，∠DEO=30°，
（i）如圖2，當(dāng)PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x軸
∴∠PQD=∠EOD=90°，
∠PDQ+∠EDO=90°，∠EDO+∠DEO=90°，
∴∠DEO=∠PDQ=30°，
在△DPQ與△EDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PQD=∠EOD}\\{∠DEO=∠PDQ}\\{DP=DE}\end{array}\right.$，
∴△DPQ≌△EDO（AAS），
∴DQ=OE=m，
∵∠PAQ=∠PDQ=30°，
∴PA=PD，
∴AQ=DQ=m，
∴OA=2m+$\frac{\sqrt{3}}{3}$m=3，
∴m=$\frac{9}{6+\sqrt{3}}$=$\frac{18-3\sqrt{3}}{11}$；
（ii）如圖3，當(dāng)PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y軸，
同理可得CQ=EQ=OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，
∴OC=m+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m=$\sqrt{3}$，
∴m=$\frac{9-3\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$=6-3$\sqrt{3}$；
（iii）如圖4，當(dāng)DP⊥DE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC，
同理可得AP=AD=$\frac{9-\sqrt{3}m}{3}$，PN=DM=$\frac{9-\sqrt{3}m}{6}$，CN=$\frac{\sqrt{3}-m}{2}$，
∴AC=$\frac{9-\sqrt{3}m}{3}$+$\frac{9-\sqrt{3}m}{6}$+$\frac{\sqrt{3}-m}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴m=$\frac{9-3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$=6$\sqrt{3}$-9；
②當(dāng)x=0，y=$\sqrt{3}$時(shí)，$\sqrt{3}$=0+m，解得m=$\sqrt{3}$；
當(dāng)x=0，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=0+m，解得m=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故m的取值范圍為：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤m≤$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：三角函數(shù)，待定系數(shù)法求拋物線解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，分類思想的運(yùn)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．