Question

8．問(wèn)題提出
（1）如圖①，已知△ABC，請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于直線AC對(duì)稱的三角形．
問(wèn)題探究
（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H，使得四邊形EFGH的周長(zhǎng)最小？若存在，求出它周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
問(wèn)題解決
（3）如圖③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，現(xiàn)想從此板材中裁出一個(gè)面積盡可能大的四邊形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=$\sqrt{5}$ 米，∠EHG=45°，經(jīng)研究，只有當(dāng)點(diǎn)E、F、G分別在邊AD、AB、BC上，且AF＜BF，并滿足點(diǎn)H在矩形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，才有可能裁出符合要求的部件，試問(wèn)能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH部件？若能，求出裁得的四邊形EFGH部件的面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）作B關(guān)于AC 的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD，CD，△ACD即為所求；
（2）作E關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E′，作F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接E′F′，得到此時(shí)四邊形EFGH的周長(zhǎng)最小，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，于是得到AF′=6，AE′=8，求出E′F′=10，EF=2$\sqrt{5}$即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)余角的性質(zhì)得到1=∠2，推出△AEF≌△BGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=BG，AE=BF，設(shè)AF=x，則AE=BF=3-x根據(jù)勾股定理列方程得到AF=BG=1，BF=AE=2，作△EFG關(guān)于EG的對(duì)稱△EOG，則四邊形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O(shè)為圓心，以EG為半徑作⊙O，則∠EHG=45°的點(diǎn)H在⊙O上，連接FO，并延長(zhǎng)交⊙O于H′，則H′在EG的垂直平分線上，連接EH′GH′，則∠EH′G=45°，于是得到四邊形EFGH′是符合條件的最大部件，根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，△ADC即為所求；

（2）存在，理由：作E關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E′，
作F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F′，
連接E′F′，交BC于G，交CD于H，連接FG，EH，
則F′G=FG，E′H=EH，則此時(shí)四邊形EFGH的周長(zhǎng)最小，
由題意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，
∴AF′=6，AE′=8，
∴E′F′=10，EF=2$\sqrt{5}$，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2$\sqrt{5}$+10，
∴在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H，
使得四邊形EFGH的周長(zhǎng)最小，
最小值為2$\sqrt{5}$+10；

（3）能裁得，
理由：∵EF=FG=$\sqrt{5}$，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，
∴∠1=∠2，
在△AEF與△BGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠A=∠B}\\{EF=FG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BGF，
∴AF=BG，AE=BF，設(shè)AF=x，則AE=BF=3-x，
∴x²+（3-x）²=（$\sqrt{5}$）²，解得：x=1，x=2（不合題意，舍去），
∴AF=BG=1，BF=AE=2，
∴DE=4，CG=5，
連接EG，
作△EFG關(guān)于EG的對(duì)稱△EOG，
則四邊形EFGO是正方形，∠EOG=90°，
以O(shè)為圓心，以O(shè)E為半徑作⊙O，
∵CE=CG=5，
則∠EHG=45°的點(diǎn)在⊙O上，
連接FO，并延長(zhǎng)交⊙O于H′，則H′在EG的垂直平分線上，
連接EH′、GH′，則∠EH′G=45°，
此時(shí)，四邊形EFGH′是要想裁得符合要求的面積最大的，
∴C在線段EG的垂直平分線上，
∴點(diǎn)F，O，H′，C在一條直線上，
∵EG=$\sqrt{10}$，
∴OF=EG=$\sqrt{10}$，
∵CF=2$\sqrt{10}$，
∴OC=$\sqrt{10}$，
∵OH′=OE=FG=$\sqrt{5}$，
∴OH′＜OC，
∴點(diǎn)H′在矩形ABCD的內(nèi)部，
∴可以在矩形ABCD中，裁得符合條件的面積最大的四邊形EFGH′部件，
這個(gè)部件的面積=$\frac{1}{2}$EG•FH′=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×（$\sqrt{10}$+$\sqrt{5}$）=5+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴當(dāng)所裁得的四邊形部件為四邊形EFGH′時(shí)，裁得了符合條件的最大部件，這個(gè)部件的面積為（5+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）m²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，存在性問(wèn)題，掌握的作出輔助線利用對(duì)稱的性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．