Question

20．如圖，A、F、B、C是半圓O上的四個點，四邊形OABC是平行四邊形，∠FAB=15°，連接OF交AB于點E，過點C作OF的平行線交AB的延長線于點D，延長AF交直線CD于點H．
（1）求證：CD是半圓O的切線；
（2）若DH=6-3$\sqrt{3}$，求EF和半徑OA的長．

Answer 1

分析 （1）連接OB，根據已知條件得到△AOB是等邊三角形，得到∠AOB=60°，根據圓周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根據平行線的性質得到OC⊥CD，由切線的判定定理即可得到結論；
（2）根據平行線的性質得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，推出AE=$\frac{1}{3}$AD，根據相似三角形的性質得到$\frac{EF}{DH}=\frac{AE}{AD}$，求得EF=2-$\sqrt{3}$，根據直角三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）連接OB，
∵OA=OB=OC，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AB=OC，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∵∠FAD=15°，
∴∠BOF=30°，
∴∠AOF=∠BOF=30°，
∴OF⊥AB，
∵CD∥OF，
∴CD⊥AD，
∵AD∥OC，
∴OC⊥CD，
∴CD是半圓O的切線；

（2）∵BC∥OA，
∴∠DBC=∠EAO=60°，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AE=$\frac{1}{3}$AD，
∵EF∥DH，
∴△AEF∽△ADH，
∴$\frac{EF}{DH}=\frac{AE}{AD}$，
∵DH=6-3$\sqrt{3}$，
∴EF=2-$\sqrt{3}$，
∵OF=OA，
∴OE=OA-（2-$\sqrt{3}$），
∵∠AOE=30°，
∴$\frac{OE}{OA}$=$\frac{OA-（2-\sqrt{3}）}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：OA=2．

點評 本題考查了切線的判定，平行四邊形的性質，直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，連接OB構造等邊三角形是解題的關鍵．