Question

17．已知：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，點(diǎn)D在邊BC上，AE∥BC，AE=BD．
（1）求證：AD=CE；
（2）如果點(diǎn)G在線段DC上（不與點(diǎn)D重合），且AG=AD，求證：四邊形AGCE是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得出∠B=∠ACB，再根據(jù)全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；
（2）連接AO并延長(zhǎng)，交邊BC于點(diǎn)H，由等腰三角形的性質(zhì)和外心的性質(zhì)得出AH⊥BC，再由垂徑定理得BH=CH，得出CG與AE平行且相等．

解答 證明：（1）在⊙O中，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠B=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠B=∠EAC}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD=CE；
（2）連接AO并延長(zhǎng)，交邊BC于點(diǎn)H，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，OA為半徑，
∴AH⊥BC，
∴BH=CH，
∵AD=AG，
∴DH=HG，
∴BH-DH=CH-GH，即BD=CG，
∵BD=AE，
∴CG=AE，
∵CG∥AE，
∴四邊形AGCE是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的外接圓與外心以及全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，把這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．