Question

5．二次函數(shù)y=-x²+2x+3的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作y軸的垂線交拋物線于另一點(diǎn)D．
（1）①求OA，OB，OC的長；
②直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)（2，3）；
（2）已知點(diǎn)P位于第一象限且在拋物線上，它的橫坐標(biāo)為$\frac{5}{3}$，求證：∠ACB=∠PCB．

Answer 1

分析 （1）①令0=-x²+2x+3，解方程即可得到結(jié)論；②根據(jù)拋物線y=-x²+2x+3求得對(duì)稱軸為x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）連接AC，BC，過P作PE⊥CD于E，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）①令0=-x²+2x+3，解得：x₁=-1，x₂=3，令x=0，則y=3，
∴OA=1，OB=3，OC=3；
②拋物線y=-x²+2x+3的對(duì)稱軸為x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，C（0，3），
由題意知，C，D關(guān)于直線x=1為對(duì)稱，設(shè)D（m，3），
∴$\frac{m+0}{2}$=1，
∴m=2，
∴D（2，3），
故答案為：（2，3）；
（2）連接AC，BC，過P作PE⊥CD于E，
當(dāng)x=$\frac{5}{3}$時(shí)，y=-（$\frac{5}{3}$）²+2×$\frac{5}{3}$+3=$\frac{32}{9}$，
∴PE=$\frac{32}{9}$-3=$\frac{5}{9}$，CE=$\frac{5}{3}$，
∴tan∠PCD=$\frac{PE}{CE}$=$\frac{\frac{5}{9}}{\frac{5}{3}}$=$\frac{1}{3}$，tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴∠PCD=∠ACO，
∵CD⊥OC，OC⊥OB，OB=OC=3，
∴∠BCO=45°，∠DCB=90°-45°=45°，
∴∠BCO=∠DCB，
∴∠ACB=∠PCB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解直角三角形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．