Question

15．在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△A₁B₁C．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)B₁在線段BA延長線上時(shí)．①求證：BB₁∥CA₁；②求△AB₁C的面積；
（2）如圖②，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)是F₁，求線段EF₁長度的最大值與最小值的差．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明；
②過A作AF⊥BC于F，過C作CE⊥AB于E，根據(jù)三角函數(shù)和三角形的面積公式解答；
（2）過C作CF⊥AB于F，以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F₁，和以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F₁，得出最大和最小值解答即可．

解答 解：（1）①證明：∵AB=AC，B₁C=BC，
∴∠AB₁C=∠B，∠B=∠ACB，
∵∠AB₁C=∠ACB（旋轉(zhuǎn)角相等），
∴∠B₁CA₁=∠AB₁C，
∴BB₁∥CA₁；
②過A作AF⊥BC于F，過C作CE⊥AB于E，如圖①：

∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，
∵cos∠ABC=$\frac{3}{5}$，AB=5，
∴BF=3，
∴BC=6，
∴B₁C=BC=6，
∵CE⊥AB，
∴BE=B₁E=$\frac{3}{5}×6=\frac{18}{5}$，
∴BB₁=$\frac{36}{5}$，CE=$\frac{4}{5}×6=\frac{24}{5}$，
∴AB₁=$\frac{36}{5}-5=\frac{11}{5}$，
∴△AB₁C的面積為：$\frac{1}{2}×\frac{11}{5}×\frac{24}{5}=\frac{132}{25}$；

（2）如圖2，過C作CF⊥AB于F，以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F₁，EF₁有最小值，


此時(shí)在Rt△BFC中，CF=$\frac{24}{5}$，
∴CF₁=$\frac{24}{5}$，
∴EF₁的最小值為$\frac{24}{5}-3=\frac{9}{5}$；
如圖，以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F₁，EF₁有最大值；
此時(shí)EF₁=EC+CF₁=3+6=9，
∴線段EF₁的最大值與最小值的差為$9-\frac{9}{5}=\frac{36}{5}$．

點(diǎn)評 此題考查幾何變換問題，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形的面積公式進(jìn)行解答．