Question

10．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且∠APD=∠B．
（1）求證：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，當(dāng)PD∥AB時(shí)，求BP的長．

Answer 1

分析 （1）易證∠APD=∠B=∠C，從而可證到△ABP∽△PCD，即可得到$\frac{BP}{CD}$=$\frac{AB}{CP}$，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；
（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，從而可證到△BAP∽△BCA，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可求出BP的長．

解答 解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴$\frac{BP}{CD}$=$\frac{AB}{CP}$，
∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC，
∴AC•CD=CP•BP；

（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．
∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴$\frac{BA}{BC}$=$\frac{BP}{BA}$．
∵AB=10，BC=12，
∴$\frac{10}{12}$=$\frac{BP}{10}$，
∴BP=$\frac{25}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，把證明AC•CD=CP•BP轉(zhuǎn)化為證明AB•CD=CP•BP是解決第（1）小題的關(guān)鍵，證到∠BAP=∠C進(jìn)而得到△BAP∽△BCA是解決第（2）小題的關(guān)鍵．