Question

6．已知：如圖所示，⊙O中，△ABC為內(nèi)接三角形，AD是⊙O的直徑．CE⊥AD于E，CE的延長線交AB于F，求證：AC²=AF•AB．

Answer 1

分析 因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角，所以作輔助線：連接CD；利用同角的余角相等，可得∠ACF=∠D，又由同弧所對的圓周角相等，可得∠B=∠D，證得∠B=∠ACF，又因?yàn)椤螩AB是公共角，即可證得△ACF∽△ABC；由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可證得AC²=AF•AB．

解答 證明：連接CD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACF+∠DCF=90°，
∵CF⊥AD，
∴∠D+∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠D，
∵∠B=∠D，
∴∠B=∠ACF，
∵∠CAF=∠BAC，
∴△ACF∽△ABC，
∴AC：AB=AF：AC，
∴AC²=AF•AB．

點(diǎn)評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與圓的性質(zhì)．解此題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法，在圓中，構(gòu)造直徑所對的角是直角是常見輔助線，同學(xué)們應(yīng)注意掌握．