Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax²+bx-4（a≠0）的圖象與x軸交于A（-2，0）、C（8，0）兩點，與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點D．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖1，連結(jié)BC，在線段BC上是否存在點E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，若點P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的一個動點（其中m＞0，n＜0），連結(jié)PB，PD，BD，求△BDP面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）采用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式；
（2）先求得直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-4，則可設(shè)E（m，$\frac{1}{2}$m-4），然后分三種情況討論即可求得；
（3）利用△PBD的面積S=S_梯形-S_△BOD-S_△PFD即可求得．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx-4（a≠0）的圖象與x軸交于A（-2，0）、C（8，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-4=0}\\{64a+8b-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴該二次函數(shù)的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；

（2）由二次函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4可知對稱軸x=3，
∴D（3，0），
∵C（8，0），
∴CD=5，
由二次函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4可知B（0，-4），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-4，
設(shè)E（m，$\frac{1}{2}$m-4），
當(dāng)DC=CE時，EC²=（m-8）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²=CD²，
即（m-8）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²=5²，解得m₁=8-2$\sqrt{5}$，m₂=8+2$\sqrt{5}$（舍去），
∴E（8-2$\sqrt{5}$，-$\sqrt{5}$）；
當(dāng)DC=DE時，ED²=（m-3）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²=CD²，
即（m-3）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²=5²，解得m₃=0，m₄=8（舍去），
∴E（0，-4）；
當(dāng)EC=DE時，（m-8）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²=（m-3）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²解得m₅=5.5，
∴E（$\frac{11}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．
綜上，存在點E，使得△CDE為等腰三角形，所有符合條件的點E的坐標(biāo)為（8-2$\sqrt{5}$，-$\sqrt{5}$）、（0，-4）、（$\frac{11}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．

（3）過點P作y軸的平行線交x軸于點F，
∵P點的橫坐標(biāo)為m，
∴P點的縱坐標(biāo)為$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4，
∵△PBD的面積S=S_梯形-S_△BOD-S_△PFD=$\frac{1}{2}$m[4-（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）]-$\frac{1}{2}$（m-3）[-（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）]-$\frac{1}{2}$×3×4
=-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{17}{4}$m=-$\frac{3}{8}$（m-$\frac{17}{3}$）²+$\frac{289}{24}$
∴當(dāng)m=$\frac{17}{3}$時，△PBD的最大面積為$\frac{289}{24}$，
∴點P的坐標(biāo)為（$\frac{17}{3}$，-$\frac{161}{36}$）．

點評 此題考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，要注意數(shù)形結(jié)合，認(rèn)真分析，仔細(xì)識圖．注意待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，注意函數(shù)交點坐標(biāo)的求法，注意三角形面積的求法．