Question

16．如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=8，點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，若點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′，連接D′B和D′C，以下結(jié)論中：
①D′B的最小值為3； 
②CD′的最小值是$\sqrt{89}-5$
③DE=$8-\sqrt{39}$時(shí)，△ABD′是直角三角形；
④當(dāng)DE=$\frac{5}{2}$時(shí)，△ABD′是等腰三角形．
其中正確的有（　�。﹤�(gè)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 當(dāng)D′落在線段AB上時(shí)，D′B的值最小，此時(shí)D′B=AB-AD=3，得出①正確；當(dāng)點(diǎn)A、D′、C在同一直線上，則CD′的最小值，由此求出AC的長(zhǎng)度，得出②正確；過(guò)D′作MN⊥AB交AB于點(diǎn)N，交CD于點(diǎn)M，設(shè)AN=x，則EM=x-2.5，證出∠ED′M=∠D′AN，因此△EMD′∽△D′N(xiāo)A，得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{ED′}{AD′}$=$\frac{EM}{D′N(xiāo)}$，求出x=4，得出AN=BN，因此AD′=D′B，得出④正確；當(dāng)DE=$8-\sqrt{39}$時(shí)，假設(shè)△ABD′是直角三角形，則E、D′、B在一條直線上，作EF⊥AB于點(diǎn)F，由勾股定理求出D′B、EB，得出③正確；

解答 解：當(dāng)D′落在線段AB上時(shí)，D′B的值最小，如圖1所示：
此時(shí)D′B=AB-AD=8-5=3，
∴①正確；
如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、D′、C在同一直線上時(shí)，CD′取最小值，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠D=90°，AD=5，CD=AB=8，
由勾股定理求得AC=$\sqrt{89}$；
∵點(diǎn)A、D′、C在同一直線上，
∴D′C=AC-AD′=AC-AD=$\sqrt{89}$-5，
∴②正確；
過(guò)D′作MN⊥AB交AB于點(diǎn)N，交CD于點(diǎn)M，如圖3所示：
設(shè)AN=x，則EM=x-2.5，
∵∠AD′N(xiāo)=∠DAD′，∠ED′M=180°-∠AD′E-∠AD′N(xiāo)=180°-90°-∠AD′N(xiāo)=90°-∠AD′N(xiāo)，
∴∠ED′M=90°-∠DAD′，
∵∠D′AN=90°-∠DAD′，
∴∠ED′M=∠D′AN，
∵M(jìn)N⊥AB，
∴∠EMD′=∠AND′，
∴△EMD′∽△D′N(xiāo)A，
∴$\frac{ED′}{AD′}$=$\frac{EM}{D′N(xiāo)}$，
即$\frac{2.5}{5}$=$\frac{x-2.5}{\sqrt{{5}^{2}-{x}^{2}}}$，
解得：x=4，
∴AN=BN，
∴AD′=D′B，
即△ABD′是等腰三角形，
∴④正確；
當(dāng)DE=$8-\sqrt{39}$時(shí)，假設(shè)△ABD′是直角三角形，
則E、D′、B在一條直線上，
作EF⊥AB于點(diǎn)F，如圖4所示：
D′B=$\sqrt{A{B}^{2}-D′{A}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{5}^{2}}$=$\sqrt{39}$，EB=$\sqrt{E{F}^{2}+F{B}^{2}}$=8，
∵8-$\sqrt{39}$+$\sqrt{39}$=8，
∴BD′+ED′=EB，
∴③正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握矩形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．