Question

4．如圖，點A、B為x軸上的兩點，點C、D為y軸上的兩點，經過A、C、B的拋物線C₁的一部分與經過點A、D、B的拋物線C₂的一部分組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線成為“月線”．已知點C的坐標為（0，3），點M是拋物線C₂：y=mx²-4mx-12m（m＜0）的頂點．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）在第一象限內的拋物線C₁上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；
（3）連接AC、CM、DA，當AC∥DM時，證明：AD∥CM．

Answer 1

分析 （1）令y=0代入y=mx²-4mx-12m，即可求出A、B兩點的坐標；
（2）利用點A、B、C的坐標即可求出拋物線C₁的解析式，再求出直線BC的解析式，然后設P的橫坐標為a，過點P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點F，所以△PBC的面積為$\frac{1}{2}$PF•OB，列出△PBC的面積與a的函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)的性質即可求出△PBC的面積最大值；
（3）當AC∥DM時，AD∥CM，即證明四邊形ACMD時平行四邊形，所以只需要證明AC=DM即可，利用直線AC和DM的解析式可求出m的值，再由勾股定理求證AC=DM即可．

解答 解：（1）令y=0代入y=mx²-4mx-12m，
∴0=mx²-4mx-12m，
∴x=-2或x=6，
∴A（-2，0），B（6，0）；

（2）設拋物線C₁的解析式為y=a（x+2）（x-6），
把C（0，3）代入y=a（x+2）（x-6），
∴3=-12a，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-6）=-$\frac{1}{4}$x²+x+3，
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（6，0）和C（0，3）代入y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=6k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，
設P的坐標為（a，-$\frac{1}{4}$a²+a+3），其中0＜a＜6，
過點P作PE⊥x軸于點E，交BC于點F，如圖1，
把x=a代入y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∴y=-$\frac{1}{2}$a+3，
∴F（a，-$\frac{1}{2}$a+3），
∴PF=（-$\frac{1}{4}$a²+a+3）-（-$\frac{1}{2}$a+3）
=-$\frac{1}{4}$a²+$\frac{3}{2}$a，
∴△PBC的面積為：$\frac{1}{2}$PF•OE+$\frac{1}{2}$PF•BE
=$\frac{1}{2}$PF（OE+BE）
=$\frac{1}{2}$PF•OB
=-$\frac{3}{4}$a²+$\frac{9}{2}$a
=-$\frac{3}{4}$（a-3）²+$\frac{27}{4}$，
當a=3時，△PBC的面積最大值為$\frac{27}{4}$；

（3）如圖2，由（1）可知：A（-2，0），C（0，3），
∴由勾股定理可知：AC=$\sqrt{13}$，
設直線AC的解析式為y=k₁x+b₁，
把A（-2，0）和C（0，3）代入y=k₁x+b₁，
$\left\{\begin{array}{l}{0=-2{k}_{1+}_{1}}\\{3=_{1}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{3}{2}}\\{_{1}=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{3}{2}$x+3，
∴令x=0代入y=mx²-4mx-12m，
∴y=-12m，
∴D（0，-12m），
由拋物線C₂的解析式可知：M（2，-16m），
設直線DM的解析式為y=k₂x+b₂，
∵AC∥DM，
∴k₂=k₁=$\frac{3}{2}$，
把D（0，-12m）代入y=$\frac{3}{2}$x+b₂，
∴b₂=-12m，
∴直線DM的解析式為y=$\frac{3}{2}$x-12m，
∴-16m=3-12m，
∴m=-$\frac{3}{4}$，
∴D（0，9），M（2，12），
∴由勾股定理可求：DM=$\sqrt{（2-0）^{2}+（12-9）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴AC=DM，
∴四邊形ACMD時平行四邊形，
∴AD∥CM．

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法求解析式，勾股定理等知識，綜合程度較高，考查學生靈活運用知識的能力．