Question

6．在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，對于點P（x，y），以及兩個無公共點的圖形W₁和W₂，若在圖形W₁和W₂上分別存在點M （x₁，y₁ ）和N （x₂，y₂ ），使得P是線段MN的中點，則稱點M 和N被點P“關(guān)聯(lián)”，并稱點P為圖形W₁和W₂的一個“中位點”，此時P，M，N三個點的坐標(biāo)滿足x=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，y=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$
（1）已知點A（0，1），B（4，1），C（3，-1），D（3，-2），連接AB，CD．
①對于線段AB和線段CD，若點A和C被點P“關(guān)聯(lián)”，則點P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0）；
②線段AB和線段CD的一“中位點”是Q （2，-$\frac{1}{2}$），求這兩條線段上被點Q“關(guān)聯(lián)”的兩個點的坐標(biāo)；
（2）如圖1，已知點R（-2，0）和拋物線W₁：y=x²-2x，對于拋物線W₁上的每一個點M，在拋物線W₂上都存在點N，使得點N和M 被點R“關(guān)聯(lián)”，請在圖1 中畫出符合條件的拋物線W₂；
（3）正方形EFGH的頂點分別是E（-4，1），F(xiàn)（-4，-1），G（-2，-1），H（-2，1），⊙T的圓心為T（3，0），半徑為1．請在圖2中畫出由正方形EFGH和⊙T的所有“中位點”組成的圖形（若涉及平面中某個區(qū)域時可以用陰影表示），并直接寫出該圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）①點M 和N被點P“關(guān)聯(lián)”的定義即可解決問題．
②設(shè)在線段AB和線段CD上分別存在K（x，1）和L（3，y）被點Q（2，-$\frac{1}{2}$）“關(guān)聯(lián)”，則點Q是KL中點，列出方程即可解決問題．
（2）銳角題意可知畫出拋物線W₁關(guān)于點R的中心對稱圖形即可．
（3）先根據(jù)題意畫出圖形，再求出圖形面積即可．

解答 解：（1）①∵點A和C被點P“關(guān)聯(lián)”，
又∵$\frac{0+3}{2}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{1-1}{2}$=0，
∴點P坐標(biāo)（$\frac{3}{2}$，0），
故答案為（$\frac{3}{2}$，0）．
②設(shè)在線段AB和線段CD上分別存在K（x，1）和L（3，y）被點Q（2，-$\frac{1}{2}$）“關(guān)聯(lián)”，則點Q是KL中點，
∴2=$\frac{x+3}{2}$，-$\frac{1}{2}$=$\frac{1+y}{2}$，
∴x=1，y=-2，
∴這兩條線段上被點Q“關(guān)聯(lián)”的兩個點的坐標(biāo)分別是（1，1）和（3，-2）．
（2）所求作的拋物線如圖1所示，

（3）正方形EFGH和⊙T的所有“中位點”組成的圖形如圖2所示（影陰部分包括邊界），

S_陰=2×2-4[$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$•π•（$\frac{1}{2}$）²]=3+$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、中心對稱等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會正確畫出圖形，利用分割法求面積，解題的難點是第三個問題的圖不容易畫出來，屬于中考壓軸題．