Question

11．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點A（-1，0）和C（1，1），動點D（t，t）（點D與點C不重合），二次函數(shù)y=ax²-4ax+c的圖象與x軸相交于點A和B．
（1）設(shè)二次函數(shù)y=ax²-4ax+c的頂點為P，若點P與點D關(guān)于x軸對稱，求此二次函數(shù)的解析式．
（2）在D運動時，若在坐標(biāo)軸上找一點Q，使△QCD為直角三角形，這樣的點Q有且僅有4個，求滿足條件的t的值或取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可先求出點P的橫坐標(biāo)，從而可求出點D的坐標(biāo)，然后把點A、D的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可解決問題；
（2）只需先考慮幾個臨界位置（①點D在原點，②點D在線段OC上，且以CD為直徑的圓與坐標(biāo)軸相切，③點D在線段OC的延長線上，且以CD為直徑的圓與坐標(biāo)軸相切），然后結(jié)合圖象就可解決問題．

解答 解：（1）由題意得：點P的橫坐標(biāo)為-$\frac{-4a}{2a}$=2．
∵點P與點D關(guān)于x軸對稱，
∴點D的橫坐標(biāo)為2，
∴t=2，
∴點D（2，2）．
把點A（-1，0），D（2，2）代入y=ax²-4ax+c得：$\left\{\begin{array}{l}{a+4a+c=0}\\{4a-8a+c=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{9}}\\{c=-\frac{10}{9}}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=$\frac{2}{9}$x²-$\frac{8}{9}$x-$\frac{10}{9}$；

（2）①當(dāng)點D在原點時，
以點C為直角頂點的點Q有兩個，
以點D為直角頂點的點Q不存在，
以點Q為直角頂點的點Q有兩個（此時點Q是以CD為直徑的圓與坐標(biāo)軸的交點），
∴當(dāng)點D在原點時，使△QCD為直角三角形的點Q有且僅有4個，此時t=0；
②當(dāng)點D在線段OC上，且以CD為直徑的⊙E與坐標(biāo)軸相切時，如圖1，

以點C為直角頂點的點Q有兩個，
以點D為直角頂點的點Q有兩個，
以點Q為直角頂點的點Q有兩個（此時點Q是以CD為直徑的圓與坐標(biāo)軸的交點），
∴使△QCD為直角三角形的點Q有且僅有6個，此時點E到坐標(biāo)軸的距離EH等于⊙E的半徑EC，則有
$\frac{\sqrt{2}（1-t）}{2}$=$\frac{t+1}{2}$，
解得t=3-2$\sqrt{2}$；
③當(dāng)點D在線段OC延長線上，且以CD為直徑的⊙E與坐標(biāo)軸相切時，如圖2，

以點C為直角頂點的點Q有兩個，
以點D為直角頂點的點Q有兩個，
以點Q為直角頂點的點Q有兩個（此時點Q是以CD為直徑的圓與坐標(biāo)軸的交點），
∴使△QCD為直角三角形的點Q有且僅有6個，此時點E到坐標(biāo)軸的距離EH等于⊙E的半徑EC，則有
$\frac{\sqrt{2}（t-1）}{2}$=$\frac{t+1}{2}$，
解得t=3+2$\sqrt{2}$．
結(jié)合圖象可得：滿足條件的t的取值范圍是3-2$\sqrt{2}$＜t＜3+2$\sqrt{2}$或t=0．

點評 本題主要考查了運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、拋物線的對稱軸、兩點關(guān)于x軸對稱、直線與圓相切、圓周角定理等知識，運用分類討論的思想和臨界值法是解決第（2）小題的關(guān)鍵．