Question

19．梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC與BD相交于O．若S_△ABO=p，S_△CDO=q，求S_ABCD．

Answer 1

分析 由平行線得出△AOD∽△COB，得出面積比等于相似比的平方，求出OA：OC，得出△DOC的面積和△AOB的面積，即可得出梯形ABCD的面積．

解答 解：∵AB∥CD，
∴△COD∽△AOB，
∴$\frac{{S}_{△COD}}{{S}_{△AOB}}$=$\frac{p}{q}$，
∴$\frac{OD}{OB}$=$\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}$，
∵$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△AOB}}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}$，
∴S_△AOD=$\frac{1}{\sqrt{pq}}$=$\frac{\sqrt{pq}}{pq}$，
∴S_△BOC=S_△AOD=$\frac{\sqrt{pq}}{pq}$，
∴梯形ABCD的面積=S_△DOC+S_△AOB+S_△COB+S_△AOD=q+p+$\frac{\sqrt{pq}}{pq}$+$\frac{\sqrt{pq}}{pq}$=p+q+$\frac{2\sqrt{pq}}{pq}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積關(guān)系；熟練掌握梯形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．