Question

16．如圖，拋物線y=-x²+x+6與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，拋物線與y軸交于C，拋物線的頂點(diǎn)為D，直線l過點(diǎn)C交x軸于E（6，0）．
（1）寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和直線l的解析式．
（2）點(diǎn)Q在x軸的正半軸上運(yùn)動，過Q作y軸的平行線，交直線l于M，交拋物線于NN連接CN，將△CMN沿CN翻轉(zhuǎn)，M的對應(yīng)點(diǎn)為M′．探究：是否存在點(diǎn)Q，使得M′恰好落在y軸上？若存在，請求出Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出C（0，6），再利用配方法得到D點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線l的解析式；
（2）直線CN交x軸于P，作PH⊥l于H，如圖，線CN交x軸于P，作PH⊥l于H，如圖，利用折疊的性質(zhì)得CN平分∠MCM′，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)得PO=PH，設(shè)OP=t，則PH=t，PE=6-t，證明△PEH為等腰直角三角形得到6-t=$\sqrt{2}$t，解得t=6（$\sqrt{2}$+1），則P（6（$\sqrt{2}$+1），0），接著利用待定系數(shù)法求出直線PC的解析式為y=-（$\sqrt{2}$+1）x+6，然后解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+x+6}\\{y=-（\sqrt{2}+1）x+6}\end{array}\right.$得N點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，y=-x²+x+6=6，則C（0，6），
y=-x²+x+6=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{23}{4}$，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{23}{4}$），
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
把C（0，6），E（6，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線l的解析式為y=-x+6；
（2）存在．
直線CN交x軸于P，作PH⊥l于H，如圖，利用折疊的性質(zhì)得CN平分∠MCM′，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)得PO=PH，
設(shè)OP=t，則PH=t，PE=6-t，
∵OC=OE，
∴△OCE為等腰直角三角形，
∴∠PEH=45°，
∴△PEH為等腰直角三角形，
∴PE=$\sqrt{2}$PH，即6-t=$\sqrt{2}$t，解得t=6（$\sqrt{2}$+1），
∴P（6（$\sqrt{2}$+1），0），
設(shè)直線PC的解析式為y=mx+n，
把C（0，6），P（6（$\sqrt{2}$+1），0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=6}\\{6（\sqrt{2}+1）m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-（\sqrt{2}+1）}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直線PC的解析式為y=-（$\sqrt{2}$+1）x+6，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+x+6}\\{y=-（\sqrt{2}+1）x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}}\\{y=2-3\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴N（2+$\sqrt{2}$，2-3$\sqrt{2}$），
∴QN⊥x軸，
∴Q（2+$\sqrt{2}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握角平分線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，能利用解方程組求拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．