Question

20．在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線MN過點A且MN∥BC，過B點作∠BDE=90°，且點D在直線MN上（不與點A重合）．
（1）如圖①，當(dāng)DE與AC交于P時，求證：BD=DP；
（2）如圖②，當(dāng)DE與AC的延長線交于點P時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
（3）如圖③，當(dāng)DE與CA的延長線交于點P時，請直接寫出DB與PD的數(shù)量關(guān)系，此時過D作DF⊥AB于F，求證：AP+AB=2AF．

Answer 1

分析 （1）如圖1，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△BDF≌△PDA，可得結(jié)論；
（2）如圖2，作輔助線，同理證明△DAB≌△DFP，可得BD=PD；
（3）如圖3，同理作輔助線，證明△BDG≌△PDA，可得BD=PD；
如圖4，根據(jù)△BDG≌△PDA，得AP=BG，并由等腰三角形ADG的三線合一得：AG=2AF，從而根據(jù)線段的和得出結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，過D作DF⊥MN，交AB于F，
∴∠ADF=90°，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∵MN∥BC，
∴∠MAB=∠ABC=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AD=DF，
∵∠BDE=90°，
∴∠BDF+∠FDP=90°，
∵∠ADP+∠FDP=90°，
∴∠BDF=∠ADP，
∵∠BFD=180°-∠DFA=180°-45°=135°，
∠DAC=∠DAF+∠BAC=45°+90°=135°，
∴∠BFD=∠DAC，
∴△BDF≌△PDA，
∴BD=PD；
（2）BD=PD仍然成立，理由是：
如圖2，過D作DF⊥MN，交AC于F，則∠ADF=90°，
∵MN∥BC，
∴∠DAF=∠ACB=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AD=DF，
∵∠PDF+∠BDF=90°，
∠ADB+∠BDF=90°，
∴∠PDF=∠ADB，
∵∠PFD=180°-45°=135°，
∠BAD=90°+45°=135°，
∴∠PFD=∠BAD，
∴△DAB≌△DFP，
∴BD=PD；
（3）如圖3，BD=PD，理由是：
過D作DG⊥MN，交AB的延長線于G，
同理得△ADG是等腰直角三角形，
∴AD=DG，
∵∠GDB+∠BDA=90°，
∠PDA+∠BDA=90°，
∴∠GDB=∠PDA，
∵∠DGA=∠DAG=45°，∠BAC=90°，
∴∠PAM=180°-∠BAC-∠DAG=45°，
∴∠PAM=∠DGA，
∴△BDG≌△PDA，
∴BD=PD；
如圖4，∵AD=DG，DF⊥AG，
∴AG=2AF，
∵△BDG≌△PDA，
∴AP=BG，
∵AG=AB+BG，
∴AG=AB+AP，
∴AP+AB=2AF．

點評 本題是三角形的綜合題，難度適中，考查了等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定，在證明三角形全等的條件中，常利用同角的余角相等來證明兩角相等，本題的三個問題的證明思路類似：都是作MN的垂線，證明△DAB≌△DFP，得出結(jié)論．