Question

4．已知，如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=6cm，點(diǎn)P由C開始向點(diǎn)B以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q由B開始向點(diǎn)A以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，若PQ同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)
（1）運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)△PQB是直角三角形？
（2）運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)△PBQ的面積是△ABC面積的$\frac{2}{9}$？
（3）運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)PQ的長度是$\frac{\sqrt{63}}{2}$cm？

Answer 1

分析 先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的速度、時(shí)間表示路程為：PC=t，BQ=2t，BP=6-2t，計(jì)算出走完全程的總時(shí)間為6秒，
（1）分兩種情況：①當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，如圖1②當(dāng)∠QPB=90°時(shí)，如圖2，根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半列式求出時(shí)間；
（2）如圖3，作△PBQ的高線QD，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出QD=$\sqrt{3}$t，利用△PBQ的面積是△ABC面積的$\frac{2}{9}$列式可求出t的值；
（3）如圖3，在Rt△PQD中，根據(jù)勾股定理列方程：$（\frac{\sqrt{63}}{2}）^{2}$=$（\sqrt{3}t）^{2}$+（6-2t）²，求出t的值，都符合題意．

解答 解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則PC=t，BQ=2t，BP=6-2t，
∵BC=6，
∴點(diǎn)P走完全程需要6秒，
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=6cm，
∴AB=12，
∴點(diǎn)Q走完全程需要6秒，
∴0≤t≤6，
（1）△PQB是直角三角形時(shí)，有兩種情況：
①當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，如圖1，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ，
∴6-2t=2×2t，
t=1，
②當(dāng)∠QPB=90°時(shí)，如圖2，
∵∠B=60°，
∴∠BQP=30°，
∴BQ=2BP，
∴2t=2（6-2t），
t=2，
答：運(yùn)動(dòng)1秒或2秒時(shí)，△PQB是直角三角形；
（2）如圖3，過Q作QD⊥BC于D，
在Rt△ACB中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∵QD∥AC，
∴$\frac{QD}{AC}=\frac{BQ}{AB}$，
∴$\frac{QD}{6\sqrt{3}}$=$\frac{2t}{12}$，
∴QD=$\sqrt{3}$t，
∵S_△PBQ=$\frac{2}{9}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$BP•QD=$\frac{2}{9}$×$\frac{1}{2}$BC×AC，
$\sqrt{3}$t（6-t）=$\frac{2}{9}$×6×$6\sqrt{3}$，
t²-6t+8=0，
解得：t₁=2，t₂=4；
答：運(yùn)動(dòng)2秒或4秒時(shí)，△PBQ的面積是△ABC面積的$\frac{2}{9}$；
（3）如圖3，在Rt△BQD中，∠B=60°，
∴∠BQD=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$BQ=t，
∴PD=PB-BD=6-t-t=6-2t，
由勾股定理得：PQ²=QD²+PD²，
$（\frac{\sqrt{63}}{2}）^{2}$=$（\sqrt{3}t）^{2}$+（6-2t）²，
解得：t₁=$\frac{3}{2}$，t₂=$\frac{27}{14}$，
答：運(yùn)動(dòng)$\frac{3}{2}$秒或$\frac{27}{14}$秒時(shí)PQ的長度是$\frac{\sqrt{63}}{2}$cm．

點(diǎn)評 本題是一元二次方程的應(yīng)用，屬于動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題，此類題的解題思路為：①確定有幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)，②動(dòng)點(diǎn)的行動(dòng)路線，③時(shí)間、速度、會(huì)表示路程，④從題中找一等量關(guān)系式，列方程即可．