Question

17．如圖1，拋物線l₁：y=-x²+2x+3與x軸的正半軸和y軸分別交于點A，B，頂點為C，直線BC交x軸于點D．
（1）直接寫出點A和C的坐標(biāo)；
（2）把拋物線l₁沿直線BC方向平移，使平移后的拋物線l₂經(jīng)過點A，點E為其頂點．求拋物線l₂的解析式，并在圖1中畫出其大致圖象，標(biāo)出點E的位置；在x軸上是否存在點P，使△CEP是直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（注：該步若要用到備用圖，則不要求再畫出拋物線l₂的大致圖象）

Answer 1

分析 （1）令y=0可求得點A的坐標(biāo)，然后依據(jù)配方法和頂點坐標(biāo)公式可求得拋物線的頂點C的坐標(biāo)；
（2）先求得點B的坐標(biāo)，然后再利用待定系數(shù)法求得BC的解析式，直線BC的解析式可設(shè)E（a，a+3），則l₂的解析式為y=-（x-a）²+a+3，接下來，將點A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a的值，從而得到拋物線l₂的解析式；將∠P₁CE=90°時，先求得CP₁的解析式，從而可求得點P₁的坐標(biāo)，同理可求得P₂的坐標(biāo)；如圖3所示：以CE為直徑作圓G，過點G作GF⊥x軸，垂足為F．先求得FG與CE的長，然后根據(jù)d和r的關(guān)系可求得圓G與x軸的位置關(guān)系，可判斷△CP₃E不為直角三角形．

解答 解：（1）∵令y=0得：x²-2x-3=0，即（x-3）（x+1）=0，解得：x₁=-1，x₂=3，
∴點A的坐標(biāo)為（3，0）．
∵y=-x²+2x+3=-（x²-2x）+3=-（x²-2x+1-1）+3=-（x-1）²+4，
∴點C（1，4）．
（2）設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b．
∵CD經(jīng)過點C（1，4）、B（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得；$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴直線CD解析式為y=x+3．
∵拋物線l₂由拋物線l₁沿直線BC方向平移得到，
∴頂點E在直線BC上．
設(shè)E（a，a+3），則拋物線l₂的解析式為y=-（x-a）²+a+3．
∵拋物線l₂過點A（3，0），
∴-（3-a）²+a+3=0．解得：a₁=6，a₂=1（舍去）．
∴拋物線l₂的解析式為y=-（x-6）²+9=-x²+12x-27．
拋物線l₂的大致圖象如圖1所示．

如圖2所示：將∠P₁CE=90°時，

設(shè)直線CP₁的解析式為y=kx+b．
∵CP₁⊥BC，
∴k=-1．
∴y=-x+b．
∵將點C（1，4）代入得：-1+b=4．解得b=5，
∴直線CP₁的解析式為y=-x+5．
令y=0得；-x+5=0，解得x=5，
∴點P₁的坐標(biāo)為（5，0）．
設(shè)直線EP₂的解析式為y=-x+b．
∵將點E（6，9）代入得：-6+b=9，解得：b=15，
∴直線EP₂的解析式為y=-x+15．
∵令y=0得：-x+15=0，解得：x=15，
∴點P₂的坐標(biāo)為（15，0）．
如圖3所示：以CE為直徑作圓G，過點G作GF⊥x軸，垂足為F．

∵C（1，4），E（6，9），
∴G（3.5，6.5）．
∴GF=6.5．
∵由兩點間的距離公式可知CE=$\sqrt{（6-1）^{2}+（9-4）^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
∴r=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
∵d＞r，
∴圓G與x軸相離．
∴∠CP₃E＜90°，此時不能構(gòu)成直角三角形．
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（5，0）或（15，0）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式、直線和圓的位置關(guān)系、兩點間的距離公式，分類討論是解題的關(guān)鍵．