Question

5．【問題背景】已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是射線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F為射線CD上一點(diǎn)，∠EAF大小始終等于45°．

【先易后難】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，延長(zhǎng)EB到F′，使BF′=DF，連接AF′．求證：EF′=EF．
【動(dòng)中求靜】當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出BE，EF，DF三者之間的數(shù)量關(guān)系，不必證明．
【拓展探究】當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AE與CD交于點(diǎn)G，如圖2．問△EGF與△EFA能否相似？若能相似，求出BE的值；若不可能相似，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 【先易后難】由正方形的性質(zhì)得出AB=AD，∠BAD=∠D=∠ABC=∠ABF′=90°，由SAS證明△ABF′≌△ADF，得出∠BAF′=∠DAF，AF′=AF，證出∠EAF′=∠EAF，由SAS證明△EAF′≌△EAF，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可．
【動(dòng)中求靜】同上類似得出BE=EF+DF．
【拓展探究】△EGF與△EFA相似；只需∠EFG=∠EAF=45°，此時(shí)由CF=CE，設(shè)BE=x，DF=y，由BE=EF+DF得出EF=x-y，由勾股定理得出（x-1）²+（1+y）²=（x-y）²，得出y=$\frac{x-1}{x+1}$（x＞1），由CF=CE，得出方程，解方程即可．

解答 【先易后難】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠D=∠ABC=∠ABF′=90°，
在△ABF′和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠ABF′=∠D}&{\;}\\{BD′=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF′≌△ADF（SAS），
∴∠BAF′=∠DAF，AF′=AF，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=90°-45°=45°，
∴∠BAE+∠BAF′=45°，
即∠EAF′=45°=∠EAF，
在△EAF′和△EAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF′=AF}&{\;}\\{∠EAF′=∠EAF}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EAF′≌△EAF（SAS），
∴EF′=EF．
【動(dòng)中求靜】解：BE=EF+DF．
【拓展探究】解：△EGF與△EFA能相似；
∵∠GEF=∠FEA，
∴當(dāng)∠EFG=∠EAF=45°時(shí)，△EGF與△EFA相似；
此時(shí)由CF=CE，
設(shè)BE=x，DF=y，
由（2）得：EF=x-y，
∵∠ECF=∠BCD=90°，
∴CE²+CF²=EF²，
即（x-1）²+（1+y）²=（x-y）²，
化簡(jiǎn)得：y=$\frac{x-1}{x+1}$（x＞1），
∵CF=CE，
∴x-1=1+y，
即x-1=1+$\frac{x-1}{x+1}$，
化簡(jiǎn)得：x²-2x-1=0，
解得：x=1±$\sqrt{2}$（負(fù)值舍去），
∴BE=1+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．