Question

7．如圖，已知BO是△ABC的AC邊上的高，其中BO=8，AO=6，CO=4，點(diǎn)M以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度自C向A在線段CA上作勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N以5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度自A向B在射線AB上作勻速運(yùn)動(dòng)，MN交OB于點(diǎn)P．當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）線段AN的取值范圍是O＜AN＜25；
（2）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，①求證：MN：NP為定值；②若△BNP與△MNA相似，求CM的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)2＜t＜5時(shí)，①求證：MN：NP為定值；②若△BNP是等腰三角形，求CM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先求出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再求出點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路程即可．
（2）如圖1中，①過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AC于點(diǎn)H，設(shè)AN=5k，CM=2k，用k的代數(shù)式表示MN、NP即可解決問(wèn)題．②只可能是∠MNB=∠MNA=90°，由△MNP∽△MNA∽△BOA，路程比例式即可解決問(wèn)題．
（3）如圖2中，當(dāng)2＜t＜5時(shí)，①方法和前面類(lèi)似．②當(dāng)點(diǎn)M在OA上時(shí)，BN=5k-10．由PO∥HN，得$\frac{PO}{NH}$=$\frac{MO}{MH}$，得到PO=$\frac{8}{5}k$，根據(jù)BP=BN，列出方程即可解決．

解答 解：（1）∵AC=OC+AO=10，
點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為2單位長(zhǎng)度/秒，
∴t=$\frac{10}{2}$=5，∵5×5=25，
∴0＜AN＜25．
故答案為0＜AN＜25．
（2）如圖1中，當(dāng)0＜t＜2時(shí)，
①過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AC于點(diǎn)H，設(shè)AN=5k，CM=2k，

∵NH∥BO，
∴$\frac{NH}{BO}$=$\frac{AH}{AO}$，
∴AH=3K，OH=6-3k，OM=4-2k，MH=10-5k，
∵PO∥NH，
∴$\frac{MN}{NP}$=$\frac{MH}{OH}$=$\frac{10-5k}{6-3k}$$\frac{5}{3}$
②只可能是∠MNB=∠MNA=90°，
△MNP∽△MNA∽△BOA，
∴$\frac{AM}{AN}$=$\frac{AB}{AO}$，
∴$\frac{10-2k}{5k}$=$\frac{10}{6}$，
∴k=$\frac{30}{31}$，
∴CM=$\frac{60}{31}$．
（3）如圖2中，當(dāng)2＜t＜5時(shí)，

①過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AC于點(diǎn)H，設(shè)AN=5k，CM=2k，
則OH=3k-6，OM=2k-4，
∴MH=5k-10，
∵PO∥NH，
∴$\frac{MN}{NP}$=$\frac{MH}{OH}$=$\frac{5k-10}{3k-6}$=$\frac{5}{3}$．
②當(dāng)點(diǎn)M在OA上時(shí)，BN=5k-10．
∵PO∥HN，
∴$\frac{PO}{NH}$=$\frac{MO}{MH}$，
∴PO=$\frac{8}{5}k$，
若BP=BN，則8-$\frac{8}{5}\\;k$k=5k-10，∴k=$\frac{30}{11}$，∴CM=$\frac{60}{11}$，
若PB=PN或BN=NP，∵∠PBN＞90°，∴不成立，
∴若△BNP是等腰三角形，CM的長(zhǎng)為$\frac{60}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用參數(shù)表示相應(yīng)的線段，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．