Question

12．如圖，矩形ABCD中，AD=6厘米，AB=y厘米（y＞6）．動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別向A、C運(yùn)動(dòng)，速度都是2厘米/秒．過(guò)M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）若y=8，t=1，求PM的長(zhǎng)；
（2）若y=10，求時(shí)間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；
（3）若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ABN與△PAD的面積相等，求此時(shí)y與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）容易知道△ANB∽△APM，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例就可以求出PM；
（2）若PNB∽△PAD，則 $\frac{NB}{AD}$=$\frac{PN}{PA}$，而 $\frac{PN}{PA}$=$\frac{BM}{AM}$，推出 $\frac{NB}{AD}$=$\frac{BM}{AM}$，由BN=BM，推出AD=AM=4，求出BM即可求出t，也可以求出相似比；
（3）由S_△PAD=S_△ABN，得到$\frac{1}{2}$×6×（y-2t）=$\frac{1}{2}$×y×2t，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）當(dāng)t=1時(shí)，MB=1，NB=1，AM=8-1=7，
∵PM∥BN
∴△ANB∽△APM，
∴$\frac{PM}{NB}$=$\frac{AM}{AB}$，
∴$\frac{PM}{1}$=$\frac{7}{8}$
∴PM=$\frac{7}{8}$．

（2）∵△PNB∽△PAD，
∴$\frac{NB}{AD}$=$\frac{PN}{PA}$，∵$\frac{PN}{PA}$=$\frac{BM}{AM}$，
∴$\frac{NB}{AD}$=$\frac{BM}{AM}$，
∵BM=BN，
∴AM=AD=6，
∵AB=10，
∴BM=4，
∴t=2．
∴$\frac{NB}{AD}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，
∴相似比為$\frac{2}{3}$．

（3）∵S_△PAD=S_△ABN，
∴$\frac{1}{2}$×6×（y-2t）=$\frac{1}{2}$×y×2t，
∴y=$\frac{6t}{3-t}$，（0＜t＜3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理，矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．