Question

8．如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N，連接CN．
（1）如圖1，求證：CM=CN；
（2）如圖1，若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，求$\frac{MN}{DN}$的值；
（3）如圖2，已知點P、Q、T分別是CM、CN、MN上的動點，若AN=3，BM=1，請直接寫出PT+QT的最小值．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)可得：∠ANM=∠CNM，由四邊形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，則可證得∠CMN=∠CNM，繼而可得CM=CN；
（2）首先過點N作NH⊥BC于點H，由△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，易得MC=3ND=3HC，然后設(shè)DN=x，由勾股定理，可求得MN的長，繼而求得答案，
（3）由（1）得出△CMN是等腰三角形，而TQ+TA最小就是點T到等腰三角形的兩腰的距離之和最小就是等腰三角形腰上的高．

解答 （1）證明：由折疊的性質(zhì)可得：∠ENM=∠DNM，
即∠ENM=∠ENA+∠ANM，
∠DNM=∠DNC+∠CNM，
∵∠ENA=∠DNC
∴∠ANM=∠CNM，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠CMN=∠CNM，
∴CM=CN；

（2）解：過點N作NH⊥BC于點H，
則四邊形NHCD是矩形，
∴HC=DN，NH=DC，
∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，
∴$\frac{{S}_{△CMN}}{{S}_{△CDN}}\frac{\frac{1}{2}MC×NH}{\frac{1}{2}DN×NH}$$\frac{MC}{ND}=\frac{1}{2}$=3，
∴MC=3ND=3HC，
∴MH=2HC，
設(shè)DN=x，則HC=x，MH=2x，
∴CM=3x=CN，
在Rt△CDN中，DC=$\sqrt{C{N}^{2}-D{N}^{2}}$=2$\sqrt{2}$x，
∴HN=2$\sqrt{2}$x，
在Rt△MNH中，MN=$\sqrt{M{H}^{2}+H{N}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{MN}{DN}=\frac{2\sqrt{3}x}{x}=2\sqrt{3}$．
如圖1，

∵CM=CN
∴△CMN是等腰三角形，
要使PT+QT的最小值，也就是等腰三角形的底邊上一點到兩腰上距離之和最短，
即：TQ⊥CN，TP⊥CM，
而等腰三角形的底邊上一點到兩腰的距離之和等于腰上的高，
過點N作NH⊥BC，
∴PT+QT的最小值就是NH=AB，
由折疊得，AM=CM=AN=3，
∴BM=AN=1
在Rt△ABM中，根據(jù)勾股定理得，AB=$\sqrt{A{M}^{2}-B{M}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴NH=2$\sqrt{2}$，
即：PT+QT的最小值為2$\sqrt{2}$．

點評 此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．