Question

18．如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)E在弧BC上，連接AE、BE．在線段AE上取一點(diǎn)D，連接BD．∠BDE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB
（1）求證：BE=DE；
（2）如圖2，若BD平分∠ABC時(shí)，求證：AE平分∠BAC；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CD，當(dāng)圓心O在線段BD上，$\frac{OD}{BO}$=$\frac{1}{3}$時(shí)，求$\frac{DC}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的外角得出∠DBE=∠DBC+∠CBE，結(jié)合三角形的內(nèi)角和得出∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB，用已知條件代換即可得出∠DBE=∠BDE，即可；
（2）有角平分線得出∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，而∠BDE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，代換即可得出∠BAE=∠CAE即可；
（3）先判斷出DF是線段AC的垂直平分線，即AD=CD，再用相似三角形得出的比例式得出$\frac{AD}{DE}=\frac{DF}{BD}$，由已知條件得出$\frac{OD}{DF}=\frac{1}{2}$，代換即可．

解答 解：（1）∵∠CBE=∠CAE，
∴∠DBE=∠DBC+∠CBE
=∠DBC+∠CAE
=∠ABC-∠ABD+∠BAC-∠BAD
=∠ABC+∠BAC-（∠ABD+BAD）
=∠ABC+∠BAC-∠BDE，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB，
∴∠DBE=180°-∠ACB-∠BDE，
∵∠BDE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴2∠BDE=180°-∠ACB，
∴∠DBE=180°-∠ACB-∠BDE=2∠BDE-∠BDE=∠BDE，
∴BE=DE，
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠BDE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BDE=∠ABD+∠BAE=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠BAE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BAE=90°-$\frac{1}{2}$（ACB+∠ABC）=90°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAE，
∴AE平分∠BAC；
（3）如圖，

延長BD交圓于點(diǎn)F，
∵⊙O是△ABC的外接圓，且BF平分∠ABC，
∴BF是線段AC的垂直平分線，
∴AD=CD，
∵∠DAF=∠DBE=∠BDE=∠ADF，
∴△ADF∽△EDB
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{DF}{BD}$，
∵$\frac{OD}{BO}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OD}{OF}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OD}{DF}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DF}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{1}{2}$，
∵AD=CD，DE=BE，
∴$\frac{DC}{BE}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 此題是圓的綜合題，主要考查了三角形的外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出BF是線段AC的垂直平分線，找出角之間的關(guān)系是解本題的難點(diǎn)．