Question

9．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，點D在BC邊上運動，作∠ADE=∠B，DE交AC于E．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）當(dāng)AD=DE時，求BD的長；
（3）當(dāng)AE=DE時，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明△ABD∽△DCE，只要證明∠BAD=∠CDE，∠B=∠C即可．
（2）當(dāng)AD=DE時，△ABD≌△DCE，AB=DC=5，由此即可解決問題．
（3）只要證明△CAB∽△CDA，得$\frac{CA}{CD}$=$\frac{CB}{CA}$，求出CD即可解決問題．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠BAD+∠B，∠ADC=∠ADE+∠EDC
∵∠ADE=∠B
∴∠BAD=∠EDC，
又∵∠B=∠C
∴△ABD∽△DCE．

（2）解：當(dāng)AD=DE時，
由（1）知△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE，
∴AB=CD=5，
∴BD=BC-DC=6-5=1．

（3）解：當(dāng)AE=DE時，可知∠EAD=∠EDA，
∵∠BAD=∠EDC，
∴∠CAB=∠CDA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAB∽△CDA，
∴$\frac{CA}{CD}$=$\frac{CB}{CA}$，
∴$\frac{5}{CD}$=$\frac{6}{5}$，
∴CD=$\frac{25}{6}$
∴BD=BC-CD=6-$\frac{25}{6}$=$\frac{11}{6}$．

點評 本題考查相似形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形得到和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考�？碱}型．