Question

15．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點B在x軸的正半軸上，已知∠OBA=90°，OB=3，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$．反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點A．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點C（m，2）是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象上的點，則在x軸上是否存在點P，使得PA+PC最��？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求得點A的坐標，然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式即可；
（2）首先求得點A關(guān)于x軸的對稱點的坐標，然后求得直線A′C的解析式后求得其與x軸的交點即可求得點P的坐標．

解答 解：（1）∵∠OBA=90°，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，可設(shè)AB=4a，OA=5a，
∴OB═$\sqrt{（5a）^{2}-（4a）^{2}}$=3a，又OB=3，
∴a=1，
∴AB=4，
∴點A的坐標為（3，4），
∵點A在其圖象上，
∴4=$\frac{k}{3}$，
∴k=12；
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{12}{x}$；            

（2）在x軸上存在點P，使得PA+PC最�。�理由如下：
∵點C（m，2）是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象上的點，k=12，
∴2=$\frac{12}{m}$，
∴m=6，即點C的坐標為（6，2）；      
作點A（3，4）關(guān)于x軸的對稱點A′（3，-4），如圖，連結(jié)A′C．
設(shè)直線A'C的解析式為：y=kx+b，
∵A′（3，-4）與（6，2）在其圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-4}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-10}\end{array}\right.$，
∴直線A'C的解析式為：y=2x-10，
令y=0，解得x=5，
∴P（5，0）可使PA+PC最�。�

點評 本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，軸對稱-最短路線問題．正確求出解析式是解題的關(guān)鍵．