Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，⊙C的半徑為r，點(diǎn)P是與圓心C不重合的點(diǎn)，給出如下定義：如果點(diǎn)P′為射線CP上一點(diǎn)，滿足CP•CP′=r²，那么稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反演點(diǎn)，圖1為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的反演點(diǎn)P′的示意圖．
（1）如圖2，當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，分別求出點(diǎn)M（1，0），N（0，2），T（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)M′，N′，T′的坐標(biāo)；
（2）如圖3：已知點(diǎn)A（1，4），B（3，0），以AB為直徑的⊙G的與y軸交于點(diǎn)C，D（點(diǎn)C位于點(diǎn)D下方），E為CD的中點(diǎn)，如果點(diǎn)O，E關(guān)于⊙G的反演點(diǎn)分別為O′，E′，求∠E′O′G的大小．

Answer 1

分析 （1）利用反演點(diǎn)定義，先求出：ON′，OT′，OM′的長(zhǎng)度，然后求出它們的坐標(biāo)；
（2）①求出：E′G，O′G，O′E′，利用勾股定理逆定理證明△E′O′G是直角三角形．

解答 解：（1）∵ON•ON′=1，ON=2，
∴ON′=$\frac{1}{2}$，∴反演點(diǎn)N′坐標(biāo)（0，$\frac{1}{2}$），
∵OM•OM′=1，OM=1，
∴OM′=1
反演點(diǎn)M′坐標(biāo)（1，0）
∵OT•OT′=1，OT=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OT′=$\sqrt{2}$，
∵T′在第一象限的角平分線上，
∴反演點(diǎn)T′坐標(biāo)（1，1）

（2）由題意：AB=2$\sqrt{5}$，r=$\sqrt{5}$，
∵E（0，2），G（2，2），EG=2，E′G•EG=5，
∴E′G=$\frac{5}{2}$，
∵OG•O′G=5，OG=2$\sqrt{2}$，
∴O′G=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵E′（-$\frac{1}{2}$，2），O′（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$），
∴O′E′=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴E′G²=E′O′²+O′G²，
∴∠E′O′G=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理逆定理等，題目綜合性比較強(qiáng)，利用對(duì)稱求點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)．