Question

14．如圖：在平面直角坐標系中，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，直線y=kx+8與直線AB相交于點D，與x軸相交于點C，過D作DE⊥x軸于點E（1，0），點P（t，0）為x軸上一動點．若點T 為直線DE上一動點，當以O，B，T為頂點的三角形與以O，B，P為頂點的三角形相似時，則相應的點T（t＜0）的坐標為（1，3）或（1，0）或（1，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）．

Answer 1

分析 兩三角形相似時，在△OBT中以誰為直角分以下三種情況：①∠OBT=90°；②∠BOT=90°；③∠BTO=90°時，設點T坐標為（1，a），過點B作BF⊥DE于F，先證△BTF∽△TOE可得$\frac{BF}{TE}=\frac{TF}{OE}=\frac{BT}{TO}$，即$\frac{BT}{TO}$=$\frac{1}{a}$=$\frac{3-a}{1}$，據(jù)此可得a的值，從而求得點T的坐標．

解答 解：根據(jù)題意知點B的坐標為（0，3），
如圖1，BT=1，OB=3，

①當△BOP∽△OBT或△POB∽△OBT時，∠POB=∠TBO=90°，
∴此時點T的坐標為（1，3）；

②當△BOP∽△BOT或△POB∽△BOT時，∠BOP=∠BOT=90°，
∴點T的坐標為（1，0）；

③如圖2，設點T坐標為（1，a），過點B作BF⊥DE于F，

∴∠BFT=∠TEO=90°，
∴∠BTF+∠TBF=90°，
當△BOP∽△BTO時，∠BTO=∠BOP=90°，
∴∠BTF+∠OTE=90°，
∴∠TBF=∠OTE，
∴△BTF∽△TOE，
∴$\frac{BF}{TE}=\frac{TF}{OE}=\frac{BT}{TO}$，即$\frac{BT}{TO}$=$\frac{1}{a}$=$\frac{3-a}{1}$，
解得a=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$＞3（舍）或a=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴點T的坐標為（1，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$），
綜上點T的坐標為（1，3）或（1，0）或（1，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)兩三角形相似分類討論是解題的關鍵．