Question

9．如圖所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以BC為直徑作半圓O，過點(diǎn)A作半圓O的切線交CD于點(diǎn)E，切點(diǎn)為F，則AE的長(zhǎng)為$\frac{13}{3}$．

Answer 1

分析 易證得AB，CD是⊙O的切線，然后由切線長(zhǎng)定理可得AF=AB=3，EF=EC，設(shè)AE=x，則EF=AE-AF=x-3，即可得DE=6-x，然后由勾股定理得方程：4²+（6-x）²=x²，解此方程即可求得答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，CD=AB=3，AD=BC=4，
∴AB，CD是⊙O的切線，
∵AE是⊙O的切線，
∴AF=AB=3，EF=EC，
設(shè)AE=x，則EF=AE-AF=x-3，
∴DE=CD-EC=3-（x-3）=6-x，
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，
∴4²+（6-x）²=x²，
解得：x=$\frac{13}{3}$，
∴AE=$\frac{13}{3}$．
故答案為：$\frac{13}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、矩形的性質(zhì)以及勾股定理．注意掌握方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．