Question

1．在平面上，Rt△ABC與直徑為CE的半圓O，如圖1擺放，∠B=90°，BC=m，AC=2CE=n，半圓O交BC邊于點D，將半圓O繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點D隨半圓O旋轉(zhuǎn)，且∠ECD=∠ACB，旋轉(zhuǎn)角記為α（0°≤α≤180°）．
（1）①當(dāng)α=0°時，連接DE，則∠CDE=90°，CD=$\frac{1}{2}$m；②當(dāng)α=180°時，$\frac{BD}{AE}$=$\frac{m}{n}$．
（2）試判斷：旋轉(zhuǎn)過程中$\frac{BD}{AE}$的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．
（3）若m=4，n=5，當(dāng)α=∠ACB時，線段BD=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
（4）若m=4$\sqrt{2}$，n=6，當(dāng)半圓O旋轉(zhuǎn)至與△ABC的邊相切時，線段BD=2$\sqrt{10}$或$\frac{2\sqrt{114}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)直徑的性質(zhì)，由DE∥AB得$\frac{CD}{CB}$=$\frac{CE}{CA}$即可解決問題．②求出BD、AE即可解決問題；
（2）只要證明△ACE∽△BCD即可；
（3）求出AB、AE，利用△ACE∽△BCD即可解決問題；
（4）分類討論：①如圖5中，當(dāng)α=90°時，半圓與AC相切，②如圖6中，當(dāng)α=90°+∠ACB時，半圓與BC相切，分別求出BD即可．

解答 （1）解：①如圖1中

當(dāng)α=0時，連接DE，則∠CDE=90°，
∵∠CDE=∠B=90°，
∴DE∥AB，
∴$\frac{CD}{CB}$=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC=m，
∴CD=$\frac{1}{2}$m，
故答案為90°，$\frac{1}{2}$m，

②如圖2中，當(dāng)α=180°時，BD=BC+CD=$\frac{3}{2}$m，AE=AC+CE=$\frac{3}{2}$n，
∴$\frac{BD}{AE}$=$\frac{m}{n}$．
故答案為$\frac{m}{n}$；

（2）如圖3中，

∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACE=∠BCD，
∵$\frac{CD}{CE}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{m}{n}$，
∴△ACE∽△BCD，
∴$\frac{BD}{AE}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{m}{n}$；
（3）如圖4中，當(dāng)α=∠ACB時，

在Rt△ABC中，∵AC=5，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=3，
在Rt△ABE中．∵AB=3，BE=BC-CE=1.5，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
由（2）可知△ACE∽△BCD，
∴$\frac{BD}{AE}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{BD}{\frac{3}{2}\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$，
∴BD=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
故答案為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
（4）∵m=4$\sqrt{2}$，n=6，
∴CE=3，CD=2$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{C{A}^{2}-B{C}^{2}}$=2，
①如圖5中，當(dāng)α=90°時，半圓與AC相切，

在Rt△DBC中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
②如圖6中，當(dāng)α=90°+∠ACB時，半圓與BC相切，

作EM⊥AB于M，
∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°，
∴四邊形BCEM是矩形，
∴BM=CE=3，ME=4$\sqrt{2}$，
∴AM=5，AE=$\sqrt{A{M}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{57}$，
由（2）可知$\frac{DB}{AE}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴BD=$\frac{2\sqrt{114}}{3}$．
故答案為2$\sqrt{10}$或$\frac{2\sqrt{114}}{3}$．

點評 本題考查圓的有關(guān)知識，相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，正確畫出圖形是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會分類討論的思想，本題綜合性比較強，屬于中考壓軸題．