Question

13．如圖，E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊AD，AB上的點(diǎn)，若EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求證：△AEF≌△DCE；
（2）若CD=1，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知條件可證明△AEF≌△DCE；
（2）由（1）可知AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△AEF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠1=∠3}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DCE（AAS）；

（2）解：由（1）知△AEF≌△DCE，
∴AE=DC=1，
在矩形ABCD中，AB=CD=1，
在R△ABE中，AB²+AE²=BE²，即1²+1²=BE²，
∴BE=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，在（1）中證得三角形全等是解題的關(guān)鍵，在（2）中注意勾股定理的應(yīng)用．