Question

12．已知點C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直線AE與BD交于點F．

（1）如圖1，若∠ACD=60°，則∠AFD=60°；
（2）如圖2，若∠ACD=α，連接CF，則∠AFC=90°-$\frac{1}{2}α$（用含α的式子表示）；
（3）將圖1中的△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)如圖3，連接AE、AB、BD，∠ABD=80°，求∠EAB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出∠ACE=∠DCB，證△ACE≌△DCB，推出∠CAE=∠CDB，求出∠AFB=∠CDA+∠DAC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
（2）求出∠ACE=∠DCB，證△ACE≌△DCB，推出∠CAE=∠CDB，求出∠AFB=∠CDA+∠DAC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AFB，然后根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）由△ACD是等邊三角形，得到∠ACD=60°，得到∠CAB+∠CDB=360°-60°-80°=220°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CAE=∠CDB，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
∴∠AFB=∠CDB+∠CDA+∠DAE
=∠CDA+∠DAE+∠BAE
=∠CDA+∠DAC
=180°-60°
=120°，
∴∠AFD=60°
故答案為：60°．

（2）解：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
∴∠AFB=∠CDB+∠CDA+∠DAE
=∠CDA+∠DAE+∠BAE
=∠CDA+∠DAC
=180°-∠ACD
=180°-α，
∵∠CAE=∠CDB，
∴A，C，F(xiàn)，D四點共圓，
∴∠ADC=∠AFC，
同理∠CFB=∠BEC，
∵AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∴∠AFC=$\frac{1}{2}∠$AFB=90°-$\frac{1}{2}α$；
故答案為：90°-$\frac{1}{2}α$；

（3）∵△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
∵∠ABD=80°，
∴∠CAB+∠CDB=360°-60°-80°=220°，
∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE與△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
∴∠CAE+∠CAB=220°，
∴∠EAB=140°．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△ACE≌△DCB．