Question

4．如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，且PA=PB．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）已知PA=2$\sqrt{3}$，BC=2．求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OB，由OC=OB，PA=PB，利用等邊對等角得到兩對角相等，再利用弦切角等于夾弧所對的圓周角得到一對角相等，等量代換得到四個角都相等，由∠ABC為直角，得到∠OBC與∠OBA互余，等量代換得到∠OBA與∠PBA互余，即OB垂直于BP，即可確定出BP為圓的切線；
（2）設圓的半徑為r，則AC=2r，在直角三角形ABC中，由AC與BC，利用勾股定理表示出AB，由（1）得到三角形PAB與三角形OCB相似，由相似得比例，將各自的值代入列出關于r的方程，求出方程的解得到r的值，即為圓的半徑．

解答 （1）證明：連接OB，
∵OC=OB，AB=BP，
∴∠OCB=∠OBC，∠PAB=∠PBA，
∵AP為圓O的切線，
∴∠PAB=∠C，
∴∠PBA=∠OBC，
∵∠ABC=90°，
∴∠OBC+∠OBA=90°，
∴∠PBA+∠OBA=90°，即∠PBO=90°，
則BP為圓O的切線；

（2）解：設圓的半徑為r，則AC=2r，
在Rt△ABC中，AC=2r，BC=2，
根據(jù)勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{{r}^{2}-1}$，
∵∠PAB=∠C，∠PBA=∠OBC，
∴△PAB∽△OCB，
∴$\frac{PA}{OC}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{r}=\frac{2\sqrt{{r}^{2}-1}}{2}$，
∴r$\sqrt{{r}^{2}-1}$=2$\sqrt{3}$，
∴r²（r²-1）=12，
∴r₁²=4，r₂²=-3（舍），
∴r₁=2，r₂=-2（舍），
則圓的半徑為2．

點評 此題是切線的性質和判定，考查了等腰三角形的性質，弦切角的性質，相似三角形的性質和判定，解本題的關鍵是判斷∠OBC+∠OBA=90°，難點是求半徑．