Question

19．已知關(guān)于x的一元二次方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）當(dāng)m取何值時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）當(dāng)拋物線y=mx²+（3m+1）x+3與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且m為正整數(shù)時，求此拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若P（a，y₁），Q（1，y₂）是此拋物線上的兩點，且y₁＞y₂，請結(jié)合函數(shù)圖象直接寫出實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式，直接計算即可；
（2）根據(jù)求根公式，求出兩根，由拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)都為正整數(shù)，求出m的值，可得拋物線解析式；
（3）畫出圖象，找到當(dāng)y₁=y₂時，a的值，根據(jù)圖象，直接判斷即可．

解答 解：（1）由題意可知，△=b²-4ac=（3m+1）²-4m×3=（3m-1）²＞0，
解得m≠$\frac{1}{3}$，
∵mx²+（3m+1）x+3=0是一元二次方程，
∴m≠0，
∴當(dāng)m≠$\frac{1}{3}$且m≠0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）有求根公式，得：x=$\frac{-b±\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{-（3m+1）±\sqrt{（3m-1）^{2}}}{2m}$，
∴x₁=-3，x₂=-$\frac{1}{m}$，
∵拋物線與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且m為正整數(shù)，
∴m=1，
∴拋物線的解析式為：y=x²+4x+3；
（3）如圖，
當(dāng)x=1時，y=1+4+3=8，
過點Q作y軸的垂線，交拋物線與點M，
根據(jù)拋物線的對稱性，可得：點M（-5，8），
由圖象可知，當(dāng)y₁＞y₂時，a＞1，或a＜-5．

點評 本題主要考查一元二次方程的解法，拋物線與x軸的交點及二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，熟知拋物線與x軸的交點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)即相應(yīng)的一元二次方程的解是解決此題的關(guān)鍵．