Question

2．如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），與y軸的交點(diǎn)在（0，1）、（0，2）之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：
①當(dāng)x＞3時，y＜0；②3a+b＞0；③-$\frac{2}{3}$＜a＜-$\frac{1}{3}$；④$\frac{4}{3}$＜n＜$\frac{8}{3}$中，
正確的是①③④．

Answer 1

分析 ①由拋物線的對稱軸為直線x=1，一個交點(diǎn)A（-1，0），得到另一個交點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖象即可對于選項(xiàng)①作出判斷；
②根據(jù)拋物線開口方向判定a的符號，由對稱軸方程求得b與a的關(guān)系是b=-2a，將其代入3a+b，并判定其符號；
③根據(jù)兩根之積$\frac{c}{a}$=-3，得到a=-$\frac{c}{3}$，然后根據(jù)c的取值范圍利用不等式的性質(zhì)來求a的取值范圍；
④把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得到n=a+b+c=$\frac{4}{3}$c，利用c的取值范圍可以求得n的取值范圍．

解答 解：①∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），對稱軸直線是x=1，
∴該拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0），
∴根據(jù)圖示知，當(dāng)x＞3時，y＜0．
故①正確；

②根據(jù)圖示知，拋物線開口方向向下，則a＜0．
∵對稱軸x=-$\frac{2a}$=1
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＜0，即3a+b＜0．
故②錯誤；

③∵拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-1，0），（3，0），
∴-1×3=-3，
∴$\frac{c}{a}$=-3，則a=-$\frac{c}{3}$．
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在（0，1）、（0，2）之間（不包含端點(diǎn)），
∴1＜c＜2
∴-$\frac{2}{3}$＜-$\frac{c}{3}$＜-$\frac{1}{3}$，即-$\frac{2}{3}$＜a＜-$\frac{1}{3}$．
故③正確；

④根據(jù)題意知，a=-$\frac{c}{3}$，-$\frac{2a}$=1，
∴b=-2a=$\frac{2c}{3}$
n=a+b+c=$\frac{4}{3}$c
∵1＜c＜2，
∴$\frac{4}{3}$＜$\frac{4c}{3}$＜$\frac{8}{3}$，即$\frac{4}{3}$＜n＜$\frac{8}{3}$．
故④正確．
綜上所述，正確的說法有①③④，
故答案為：①③④．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．二次函數(shù)y=ax²+bx+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)拋物線與x軸交點(diǎn)的個數(shù)確定．