Question

5．將n+1個腰長為1的等腰直角三角形，按如圖所示放在同一直線上，設陰影部分△B₂D₁C₁的面積為S₁，△B₃D₂C₂的面積為S₂，…，△B_n+1D_nC_n的面積為S_n，則S₂=$\frac{1}{3}$；S_n=$\frac{n}{2（n+1）}$．（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 連接B₁、B₂、B₃、B₄、B₅點，顯然它們共線且平行于AC₁，依題意可知△B₁C₁B₂是等腰直角三角形，知道△B₁B₂D₁與△C₁AD₁相似，求出相似比，根據三角形面積公式可得出S₁，同理：B₂B₃：AC₂=1：2，所以B₂D₂：D₂C2=1：2，進而S₂的值可求出，同樣的道理，即可求出S₃，S₄…S_n的值．

解答 解：∵n+1個邊長為1的等腰三角形有一條邊在同一直線上，
∴S_△AB1C1=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
連接B₁、B₂、B₃、B₄、B₅點，顯然它們共線且平行于AC
∵∠B₁C₁B₂=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴A₁B₁∥B₂C₁
∴△B₁C₁B₂是等腰直角三角形，且邊長=1，
∴△B₁B₂D₁∽△C₁AD₁，
∴B₁D₁：D₁C₁=1：1，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
同理：B₂B₃：AC₂=1：2，
∴B₂D₂：D₂C₂=1：2，
∴S₂=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$，
同理：B₃B₄：AC₃=1：3，
∴B₃D₃：D₃C₃=1：3，
∴S₃=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，
∴S₄=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{5}$，
…
∴S_n=$\frac{n}{2（n+1）}$
故答案為：$\frac{1}{3}$；$\frac{n}{2（n+1）}$．

點評 本題主要考查相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的定義和性質、三角形的面公式等知識點、本題關鍵在于作好輔助線，得到相似三角形，求出相似比，就很容易得出答案了，意在提高同學們總結歸納的能力．