Question

5．如圖，PA、PB是⊙O的兩條弦，C是劣弧$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，弦CD⊥PA于E，求證：AE=PE+PB．

Answer 1

分析 在AE上截取AF=BP，連結(jié)AC、BC、FC、PC，如圖，由$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$得到AC=BC，再證明△CAF≌△CBP，得到CF=CP，由于弦CD⊥PA于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得EF=EP，于是有AE=PB+PE．

解答 解：在AE上截取AF=BP，連結(jié)AC、BC、FC、PC，如圖，
∵C是劣弧$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，即 $\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴AC=BC，
在△CAF和△CBP中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠CAF=∠CBP}\\{AF=BP}\end{array}\right.$，
∴△CAF≌△CBP，
∴CF=CP，
∵弦CD⊥PA于E，
∴EF=EP，
∴AE=AF+EF=PB+PE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．